Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 38 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Norm} {}
zu einem Skalarprodukt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Der \stichwort {Höhenfußpunkt} {} zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
}{Der
\stichwort {Ausartungsraum} {}
zu einer symmetrischen Bilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.}
}{Ein \stichwort {asymptotisch stabiler} {} Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {Unterkörper} {} $K$ eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} $L$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im $\R^3$.}{Der \stichwort {Trägheitssatz von Sylvester} {.}}{Der \stichwort {Homomorphiesatz} {} für Gruppen \zusatzklammer {Satz vom induzierten Homomorphismus} {} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die \stichwort {Cauchy-Schwarzsche Abschätzung} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\5\\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\6\\ -5 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
mit
\definitionsverweis {adjungiertem Endomorphismus}{}{}
\mathl{\hat{ \varphi }}{.} Es sei
\maabb {\psi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu
\maabbdisp {\psi \circ \varphi \circ \psi^{-1}} {W} {W
} {}
gleich
\mathl{\psi \circ \hat{ \varphi } \circ \psi^{-1}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ad-bc
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }
} { \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} ad x -acy +bd z -bcw & - ab x+ a^2 y- b^2 z+ab w \\ cdx-c^2y+d^2 z-cdw & -bc x+acy -bd z+ ad w \end{pmatrix}
} {}
ein
\definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und sei
\maabb {f} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{h \in R}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {hf
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist. Beschreibe das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
und den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Die
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(24)}{,} die
\definitionsverweis {Diedergruppe}{}{}
\mathl{D_{12}}{} und die Würfelgruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \cong }{ S_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzen $24$ Elemente und treten als endliche
\definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{}
im $\R^3$ auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{}
derart, dass die Folge der Potenzen
\mathl{M^n}{} nicht
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien $V,W$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{} von $W$ durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass die $L$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi_L} {V_L} {W_L
} {}
bezüglich der $L$-Basen
\mathl{1 \otimes v_1 , \ldots , 1 \otimes v_n}{} von $V_L$ und
\mathl{1 \otimes w_1 , \ldots , 1 \otimes w_m}{} von $W_L$ ebenfalls durch die Matrix $M$ beschrieben wird.
}
{} {}