Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 2 4 1 3 4 0 2 0 3 3 2 0 3 38



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
  3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform auf einen -Vektorraum .
  4. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein Unterkörper eines Körpers .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im .
  2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
  3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und euklidische Vektorräume und ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus . Es sei eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

gleich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen mit . Zeige, dass die Abbildung

ein innerer Automorphismus ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Die zyklische Gruppe , die Diedergruppe und die Würfelgruppe besitzen Elemente und treten als endliche eigentliche Symmetriegruppe im auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht isomorph sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix derart, dass die Folge der Potenzen nicht konvergiert.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen von und von durch die Matrix beschrieben werde. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass die -lineare Abbildung

bezüglich der -Basen von und von ebenfalls durch die Matrix beschrieben wird.