Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	2	4	1	3	4	0	2	0	3	3	2	0	3	38

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

6. Ein Unterkörper ${}K$ eines Körpers ${}L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$. Es sei ${}\psi \colon V\rightarrow W$ eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

$\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}\colon W\longrightarrow W$

gleich ${}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d$ reelle Zahlen mit ${}ad-bc=1$. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}adx-acy+bdz-bcw&-abx+a^{2}y-b^{2}z+abw\\cdx-c^{2}y+d^{2}z-cdw&-bcx+acy-bdz+adw\end{pmatrix}}$

ein innerer Automorphismus ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$. Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Die zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(24)$, die Diedergruppe ${}D_{12}$ und die Würfelgruppe ${}W\cong S_{4}$ besitzen ${}24$ Elemente und treten als endliche eigentliche Symmetriegruppe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht isomorph sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix derart, dass die Folge der Potenzen ${}M^{n}$ nicht konvergiert.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass die ${}L$-lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}$

bezüglich der ${}L$-Basen ${}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von ${}V_{L}$ und ${}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von ${}W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird.