Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 59 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das
\stichwort {Kreuzprodukt} {}
zu zwei Vektoren
\mathl{x,y \in K^3}{.}
}{Die \stichwort {Hypotenuse} {} in einem rechtwinkligen Dreieck.
}{Die \stichwort {positive Definitheit} {} einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
}{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elements
\mathl{g \in G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Eine
\stichwort {beschränkte} {}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq M}{} in einem metrischen Raum $(M,d)$.
}{Das
\stichwort {Tensorprodukt} {}
zu einer Familie von
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Abschätzung von Cauchy-Schwarz} {} \zusatzklammer {oder \stichwort {Ungleichung von Cauchy-Schwarz} {}} {} {.}}{Das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für einen Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {.}}{Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die \stichwort {Cauchy-Schwarzsche Abschätzung} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ ist, wenn die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^n} {V
} {e_i} {u_i
} {,}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {\R^n} {und} {V} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x-7y
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{}
die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } }
}
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } }
}
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Was versteht man in der Mathematik unter \stichwort {Klassifikation} {?} Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{X^2+(3-2 { \mathrm i})X- 6{ \mathrm i}}{} das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
eines
\definitionsverweis {normalen Endomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2
} {.}
Bestimme das charakteristische Polynom des
\definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{}
$\hat{ \varphi }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei ein eindimensionaler Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Skizziere die
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
zur zugehörigen
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
und erläutere darin das Problem der Wohldefiniertheit der Addition auf der Quotientenmenge $\R^2/U$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Wir betrachten im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x \\5\\ 7 \end{pmatrix}} { . }
a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des $\R^3$ repräsentieren?
b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq} {T
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Teilmengen mit den zugehörigen
\definitionsverweis {eigentlichen Symmetriegruppen}{}{}
\mathkor {} {H} {und} {G} {.}
Zeige, dass es im Allgemeinen keine Inklusionsbeziehung zwischen diesen Gruppen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+2+3)}
{
Auf den Eckpunkten eines Würfels leben Flöhe. Innerhalb einer Zeiteinheit springt ein Floh mit der Wahrscheinlichkeit ${ \frac{ 1 }{ 5 } }$ zu einem der benachbarten \zusatzklammer {durch eine Würfelkante verbundenen} {} {} Eckpunkte und bleibt ansonsten an seinem Eckpunkt sitzen. \aufzaehlungdrei{Erstelle die stochastische Matrix, die diesen Vorgang beschreibt. }{Bestimme die Eigenverteilung dieses Vorgangs. }{Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich ein Floh nach drei Zeiteinheiten im gegenüberliegenden Eckpunkt seines Ausgangseckpunktes? }
}
{} {}