Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	5	4	2	3	3	4	3	3	2	6	3	2	8	59

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Kreuzprodukt zu zwei Vektoren ${}x,y\in K^{3}$.
2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Die Ordnung eines Elements ${}g\in G$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}(M,d)$.
6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von ${}K$- Vektorräumen ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Das Injektivitätskriterium für einen Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H.$

3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$ genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}$ und der durch

${}6x-7y=5\,$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Klassifikation? Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-6{\mathrm {i} }$ das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$. Bestimme das charakteristische Polynom des adjungierten Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein eindimensionaler Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Äquivalenzklassen zur zugehörigen Äquivalenzrelation und erläutere darin das Problem der Wohldefiniertheit der Addition auf der Quotientenmenge ${}\mathbb {R} ^{2}/U$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien

${}S\subseteq T\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

Teilmengen mit den zugehörigen eigentlichen Symmetriegruppen ${}H$ und ${}G$. Zeige, dass es im Allgemeinen keine Inklusionsbeziehung zwischen diesen Gruppen gibt.

Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

Auf den Eckpunkten eines Würfels leben Flöhe. Innerhalb einer Zeiteinheit springt ein Floh mit der Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{5}}$ zu einem der benachbarten (durch eine Würfelkante verbundenen) Eckpunkte und bleibt ansonsten an seinem Eckpunkt sitzen.

1. Erstelle die stochastische Matrix, die diesen Vorgang beschreibt.
2. Bestimme die Eigenverteilung dieses Vorgangs.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich ein Floh nach drei Zeiteinheiten im gegenüberliegenden Eckpunkt seines Ausgangseckpunktes?