Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex
\setcounter{section}{33}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\5\\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\6\\ -5 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4-7 { \mathrm i} \\3+5{ \mathrm i}\\ -1-2{ \mathrm i} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -6+ 4{ \mathrm i} \\-2-8{ \mathrm i}\\ 1-9{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
im ${\mathbb C}^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\1\\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\6\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 5 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{} auf dem $K^3$ \definitionsverweis {bilinear}{}{} und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
für Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,z
}
{ \in }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \times (y \times z) + y \times (z \times x) + z \times (x \times y)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{u_1,u_2,u_3}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des $\R^3$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1 \times u_2
}
{ = }{ \pm u_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass über einem beliebigen Körper $K$ zu
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{}
Vektoren
\mathkor {} {u= \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix}} {und} {v= \begin{pmatrix} d \\e\\ f \end{pmatrix}} {}
das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d \\e\\ f \end{pmatrix}}{} zusammen mit
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
keine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $K^3$ bilden müssen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Isometrien}{}{} von $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \definitionsverweis {Isometrien}{}{} des $\R^2$ kennen Sie aus der Schule?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $U,V$ ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und \maabb {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $U,V,W$
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {Identität}{}{}
\maabb {} {V} {V
} {}
ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Wenn
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
Isometrie ist, so ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
$\varphi^{-1}$ eine Isometrie.
}{Wenn
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
und
\maabb {\psi} {V} {W
} {}
Isometrien sind, so ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{\psi \circ \varphi}{} eine Isometrie.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Isometrien}{}{} von ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass
\maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U
} {}
ebenfalls eine Isometrie ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ ist, wenn die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^n} {V
} {e_i} {u_i
} {,}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {\R^n} {und} {V} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $V$ und $W$ \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ ist $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, von $V$ derart, dass $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} des $\R^2$ gibt, die unter $\varphi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter $\varphi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$ gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist. Ferner besitze $\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{}
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { \R^3 } { \R^3
} {}
an, die keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist, für die aber für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle = 0} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {flächentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $2$ ist und die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
Zeige, dass die Menge
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} der
\definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
$u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis.
}{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$,
eine Orthonormalbasis ist.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\6\\ 2 \end{pmatrix}} { }
im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Isometrien}{}{} auf $V$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $f$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass dann $f$ sogar \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{V,W}{} komplexe Vektorräume mit
\definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn $\varphi$ eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.
}
{} {}