Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Berechne das Kreuzprodukt

$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -5\end{array}\right)$

im ${ℝ}^3$.

Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

$\left(\begin{array}{c}4-7\mathrm{i}\\ 3+5\mathrm{i}\\ -1-2\mathrm{i}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6+4\mathrm{i}\\ -2-8\mathrm{i}\\ 1-9\mathrm{i}\end{array}\right)$

im ${ℂ}^3$.

Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit fünf Elementen bezeichnet.

Aufgabe

Berechne das Kreuzprodukt

$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 5\end{array}\right)$

im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass das Kreuzprodukt auf dem $K^3$ bilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Zeige, dass für das Kreuzprodukt für Vektoren  $x,y,z\in K^3$  die Beziehung

$x\times (y\times z)+y\times (z\times x)+z\times (x\times y)=0$

gilt.

Aufgabe

Es sei $u_1,u_2,u_3$ eine Orthonormalbasis des ${ℝ}^3$. Zeige  $u_1\times u_2=\pm u_3$. 

Aufgabe

Zeige, dass über einem beliebigen Körper $K$ zu linear unabhängigen Vektoren $u=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ und $v=\left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)$ die Familie bestehend aus $u,v$ und dem Kreuzprodukt $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}d\\ e\\ f\end{array}\right)$ keine Basis des $K^3$ bilden muss.

Aufgabe

Bestimme die Isometrien von $ℝ$.

Aufgabe

Welche Isometrien des ${ℝ}^2$ kennen Sie aus der Schule?

Aufgabe

Es seien $U,V$ $𝕂$-Vektorräume mit Skalarprodukt und $\phi :U\to V$ eine Isometrie. Zeige, dass $\phi$ injektiv ist.

Aufgabe

Es seien $U,V,W$ $𝕂$-Vektorräume mit Skalarprodukt. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Identität $V\to V$ ist eine Isometrie.

b) Wenn $\phi :U\to V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung ${\phi }^{-1}$ eine Isometrie.

c) Wenn $\phi :U\to V$ und $\psi :V\to W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \phi$ eine Isometrie.

Aufgabe

Bestimme die Isometrien von $ℂ$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\phi :V⟶V$

eine Isometrie und  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass

$\phi {|}_U:U⟶U$

ebenfalls eine Isometrie ist.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie  $u_1,\dots ,u_n\in V$  genau dann eine Orthonormalbasis von $V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

${ℝ}^n⟶V,e_i⟼u_i,$

eine Isometrie zwischen ${ℝ}^n$ und $V$ ist.

Aufgabe *

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, von $V$ ist $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, von $V$ derart, dass $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des ${ℝ}^2$ gibt, die unter $\phi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter $\phi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von $\phi$ gleich $1$ oder $-1$ ist. Ferner besitze $\phi$ die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\phi$ eine Isometrie ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle  $u,v\in V$  die Beziehung

$⟨u,v⟩=0\text{ genau dann, wenn }⟨\phi (u),\phi (v)⟩=0$

gilt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

derart, dass $\phi$ flächentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

an, deren Ordnung $2$ ist und die keine Isometrie ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Menge ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei  $n\ge 2$  nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor $v$ mit  $\Vert v\Vert =1$  ist auch  $\Vert \phi (v)\Vert =1$. 
3. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, ist auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, derart, dass auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

im $K^3$, wobei $K$ den Körper mit sieben Elementen bezeichnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf $V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass $f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann $f$ sogar diagonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $V,W$ komplexe Vektorräume mit Skalarprodukten und

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann eine Isometrie bezüglich der gegebenen komplexen Skalarprodukte ist, wenn $\phi$ eine Isometrie bezüglich der zugehörigen reellen Skalarprodukte ist.