Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 43/latex
\setcounter{section}{43}
\zwischenueberschrift{Polynome in mehreren Variablen und Nullstellenmengen}
Als eine Anwendung der Diagonalisierbarkeit von symmetrischen Matrizen bzw. der Hauptachsentransformation besprechen wir, wie man einfache polynomiale Gleichungen in mehreren Variablen von niedrigem Grad auf eine besonders einfache Form bringen kann. Dazu führen wir kurz Polynome in mehreren Variablen ein.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} und einem
$n$-\definitionsverweis {Tupel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\nu_1 , \ldots , \nu_n)
}
{ \in }{ \N^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man einen Ausdruck der Form
\mathl{X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n}}{} ein \definitionswort {Monom}{} in den $X_i$.
}
Der \stichwort {Grad} {} eines Monoms ist die Summe der Exponenten, also gleich
\mathl{\nu_1+\nu_2 + \cdots + \nu_n}{.}
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {Polynom}{}
$F$ in den Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ versteht man eine endliche Linearkombination von
\definitionsverweis {Monomen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_\nu c_\nu X^\nu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_\nu
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Der \stichwort {Grad eines Polynoms} {} ist das Maximum der Grade der beteiligten Monome
\zusatzklammer {also derjenigen Monome, die mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten wirklich vorkommen} {} {.}
Ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ F(X_1 , \ldots , X_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $n$ Variablen über $K$ definiert durch Einsetzen eine Funktion
\maabbeledisp {} {K^n} {K
} {(x_1 , \ldots , x_n) } {F(x_1 , \ldots , x_n)
} {.}
Dies sind wichtige Funktionen in der höherdimensionalen Analysis. Die Variable $X_i$ in diesem Sinne interpretiert repräsentiert einfach die $i$-te Projektion, und die Addition und die Multiplikation von Polynomen entspricht dann der Addition und der Multiplikation von Funktionen, bei der die Werte in $K$ addiert bzw. multipliziert werden.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} besteht der
\definitionswort {Polynomring}{}
\mathdisp {K[X_1 , \ldots , X_n]} { }
aus allen
\definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathl{F(X_1 , \ldots , X_n)}{} in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \cdot X_1^{s_1} \cdots X_n^{s_n}
}
{ \defeq} {X_1^{r_1+s_1} \cdots X_n^{r_n+s_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt, zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
gemacht wird.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
in $n$ Variablen. Dann nennt man
\mathdisp {{ \left\{ P \in K^n \mid F (P) = 0 \right\} }} { }
das \definitionswort {Nullstellengebilde}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Nullstellenmenge}{}} {} {}
zu $F$.
}
Das Nullstellengebilde zu $F$ ist also einfach die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu der durch $F$ gegebenen Funktion
\maabbdisp {F} {K^n} {K
} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies einfach eine endliche Ansammlung von einzelnen Punkten, den Nullstellen von $F$,
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich um ganz $K$} {} {,}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entstehen aber zunehmend interessantere und kompliziertere geometrische Gebilde. Das Studium dieser Gebilde heißt \stichwort {algebraische Geometrie} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von algebraischen Kurven.
Bei beliebigem $n$ hat ein Polynom vom Grad $\leq 1$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { a_1X_1 + \cdots + a_nX_n +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Lösungsmenge der inhomogenen linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1x_1 + \cdots + a_nx_n
}
{ =} {- b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ein affin-linearer Raum.
\zwischenueberschrift{Reelle Quadriken}
Die Polynome vom Grad zwei und ihre Nullstellenmengen sind weitgehend mit Mitteln der linearen Algebra beherrschbar.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Simple Parabola.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Simple Parabola.svg } {} {Phancy Physicist} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Simple Hyperbola.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Simple Hyperbola.svg } {} {Phancy Physicist} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {quadratischen Polynom}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ versteht man ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$2$, also einen Ausdruck der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{i \leq j} a_{ij} X_iX_j + \sum_{i = 1}^n b_iX_i + c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{ij}, b_i,c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einem quadratischen Polynom
\mathl{aX^2+bX+c}{} in einer Variablen $X$ mit
\mathl{a,b,c \in K}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
findet man die Nullstellen durch \stichwort {quadratisches Ergänzen} {.} D.h. man schreibt
\zusatzklammer {die Charakteristik des Körpers sei nicht $2$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ aX^2+bX+c
}
{ =} {a { \left( X^2 + { \frac{ b }{ a } } X + { \frac{ c }{ a } } \right) }
}
{ =} {a { \left( { \left( X + { \frac{ b }{ 2a } } \right) }^2 - { \frac{ b^2 }{ 4a^2 } } + { \frac{ c }{ a } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist genau dann gleich $0$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ b^2 }{ 4a^2 } } - { \frac{ c }{ a } } } - { \frac{ b }{ 2a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Wurzel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{ { \frac{ b^2 }{ 4a^2 } } - { \frac{ c }{ a } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2a } } \sqrt{ b^2-4ac }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
}
Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen quadratischen Polynomen und Bilinearformen her.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ nennt man die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , v \right\rangle
} {,}
die
\definitionswort {zugehörige quadratische Form}{.}
}
Zu einer fixierten Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} wird eine Bilinearform durch ihre
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left( g_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben, und die zugehörige quadratische Form
\maabb {} {V} {K
} {}
wird, wenn man
\mathl{X_i}{} für die $i$-te Projektion
\zusatzklammer {die zugehörige
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}} {} {}
schreibt, durch das quadratische Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( X_1 , \, \ldots , \, X_n \right) G \begin{pmatrix} X_1 \\\vdots\\ X_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \sum_{1 \leq i, j \leq n} g_{ij} X_iX_j
}
{ =} { \sum_i g_{ii} X_i^2 + \sum_{i< j} { \left( g_{ij}+g_{ji} \right) } X_iX_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Im symmetrischen Fall ist dies
\mathdisp {\sum_i g_{ii} X_i^2 + \sum_{i< j} 2 g_{ij} X_iX_j} { . }
Umgekehrt kann man jedes rein-quadratische Polynom in $n$ Variablen in dieser Weise mit einer symmetrischen Gramschen Matrix ausdrücken. Die Theorie der reell-symmetrischen Bilinearformen erlaubt es, durch eine geeignete Koordinatentransformation
\zusatzklammer {einen Basiswechsel} {} {}
die gemischten Terme wegzukriegen.
\inputbeispiel{}
{
Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den zwei Variablen
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf
\mathl{0,1,-1}{} beschränken. Wenn nur die eine Variable $X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.
\auflistungdrei{
\mathl{X^2 \,}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist eine \anfuehrung{verdoppelte Gerade}{.}
}{
\mathl{X^2-1\,}{} $\,$ $\,$ Das bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Nullstellengebilde besteht also aus \stichwort {zwei parallelen Geraden} {.}
}{
\mathl{X^2+1\,}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist \stichwort {leer} {}.
}
In diesen Fällen ist das Nullstellengebilde einfach die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
eines nulldimensionalen Nullstellengebildes
\zusatzklammer {endlich viele Punkte} {} {}
und einer Geraden.
Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.
\auflistungsechs{
\mathl{Y^2-X \,}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist eine \stichwort {Parabel} {.}
}{
\mathl{Y^2- X^2\,}{} $\,$ $\,$ Das bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (Y-X)(Y+X)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Nullstellengebilde besteht also aus \stichwort {zwei sich kreuzenden Geraden} {.}
}{
\mathl{Y^2+ X^2\,}{} $\,$ $\,$ Die einzige Lösung ist der \stichwort {Punkt} {}
\mathl{(0,0)}{,} das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.
}{
\mathl{Y^2-X^2-1\,}{} $\,$ $\,$ Das bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (Y-X)(Y+X)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Nullstellengebilde ist also eine \stichwort {Hyperbel} {.}
}{
\mathl{Y^2+X^2-1\,}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist der \stichwort {Einheitskreis} {.}
}{
\mathl{Y^2+X^2+1\,}{} $\,$ $\,$ Das ist wieder \stichwort {leer} {.}
}
}
Das Polynom
\mathl{XY-1}{} taucht in dieser Liste nicht direkt auf, da es in den Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ U+V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{U-V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^2-V^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geschrieben werden kann. In dieser Form ist es also doch in der Liste. Der folgende Satz sagt unter anderem, dass bis auf Verzerrungen die Liste vollständig ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circular Paraboloid.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {Paraboloid} {.}} }
\bildlizenz { Circular Paraboloid.png } {} {Luke33} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hyperbolic paraboloid.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {hyperbolisches Paraboloid} {,} auch eine \stichwort {Sattelfläche} {} genannt.} }
\bildlizenz { Hyperbolic paraboloid.png } {} {Luke33} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Elipsoid_trojosy321.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {Ellipsoid} {.} Die Oberfläche ist eine Quadrik.} }
\bildlizenz { Elipsoid trojosy321.png } {} {Pajs} {cz. Wikipedia} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DoubleCone.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {Doppelkegel} {.}} }
\bildlizenz { DoubleCone.png } {} {RokerHRO} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hyperboloid1.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {einschaliges Hyperboloid} {.}} }
\bildlizenz { Hyperboloid1.png } {} {RokerHRO} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hyperboloid2.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {zweischaliges Hyperboloid} {.}} }
\bildlizenz { Hyperboloid2.png } {} {RokerHRO} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputfaktbeweis
{Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Jedes
\definitionsverweis {reelle}{}{} \definitionsverweis {quadratische Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{i \leq j} a_{ij} X_iX_j + \sum_{i = 1}^n b_iX_i + c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt in einer geeigneten
\zusatzklammer {verschobenen} {} {}
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
die Form
\zusatzklammer {mit \mathlk{k \leq n}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_i^2 + s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder die Form
\zusatzklammer {mit \mathlk{k \leq n-1}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_i^2 + s U_{k+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die quadratische Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( \alpha_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha_{ij}
}
{ =} { \begin{cases} a_{ij} \text{ für } i =j \, , \\ { \frac{ a_{ij} }{ 2 } } \text{ für } i < j \, , \\ { \frac{ a_{ji} }{ 2 } } \text{ für } i > j \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Damit hat der rein-quadratische Term des Polynoms die Gestalt
\mathdisp {\left( X_1 , \, \ldots , \, X_n \right) M \begin{pmatrix} X_1 \\\vdots\\ X_n \end{pmatrix}} { . }
Diese Gleichung gilt für jede Ersetzung für $X_i$ durch Elemente aus $K$ und als Gleichung in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Nach Definition ist die Matrix $M$
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{.}
Nach
Satz 42.12
gibt es eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
$v_1 , \ldots , v_n$ des $\R^n$, bezüglich der die neue Gramsche Matrix
\mathdisp {{ B^{ \text{tr} } } M B} { }
Diagonalgestalt besitzt, wobei $B$ den Basiswechsel bezeichnet. Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} die Variablen bezüglich des neuen Orthonormalsystems, die $V_i$ beschreiben also als Funktionen die Linearformen zu dieser neuen Basis, also die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
dazu. In den neuen Variablen fallen die gemischten quadratischen Ausdrücke weg, d.h. das Polynom bekommt die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum_{1 \leq i \leq k} e_{i} V_i^2 + \sum_{j = 1}^n f_j V_{j} + g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
mit einem gewissen $k$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {n} {,}
wobei die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien. Die Summanden
\mathdisp {e_i V_i^2 +f_i V_i} { }
können durch quadratisches Ergänzen mit den neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{V_i +h_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf die Gestalt
\mathdisp {e_i U_i^2 + g_i} { }
gebracht werden. Abgesehen vom nun rein quadratischen Term bleibt entweder eine Konstante oder ein lineares Polynom übrig, welches als Variable $U_{k+1}$ angesetzt werden kann.
Die im vorstehenden Satz auftretende Darstellung nennen wir die \stichwort {Standardgestalt} {} einer quadratischen Form. Bei ihr kommen nur rein-quadratische Terme sowie allenfalls eine Variable in der ersten Potenz vor. Der Satz besagt also, dass jede quadratische Form in geeigneten orthonormalen Koordinaten auf eine solche Standardgestalt gebracht werden kann. Für das Nullstellengebilde bedeutet eine solche Koordinatentransformation lediglich, dass eine affin-lineare Isometrie angewendet wird.
\inputbemerkung
{}
{
Eine quadratische Form in Standardgestalt
\mathdisp {\sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_i^2 + s \text{ bzw. } \sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_i^2 + s U_{k+1}} { , }
wie sie nach
Satz 43.9
stets erreicht werden kann, kann weiter vereinfacht werden, wobei man allerdings Verzerrungen in Kauf nehmen muss. In den neuen Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z_i
}
{ =} { \sqrt{ \betrag { r_i } } U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_i
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ \betrag { r_i } } } } Z_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt die quadratische Form eine Darstellung der Form
\mathdisp {\sum_{1 \leq i \leq k} \pm Z_i^2 + s \text{ bzw. } \sum_{1 \leq i \leq k} \pm Z_i^2 + s Z_{k+1}} { , }
wobei die Vorfaktoren jetzt gleich $1$ oder gleich $-1$ sind. Man spricht von einer \stichwort {normierten Standardgestalt} {} der quadratischen Form. Durch Vertauschen der Reihenfolge kann man erreichen, dass die ersten Variablen den Vorfaktor $1$ und die hinteren den Vorfaktor $-1$ besitzen. Bei diesem Übergang erfäht das Nullstellengebilde Verzerrungen, aus einer Ellipse wird beispielsweise ein Kreis gemacht oder eine Parabel wird gestaucht. Da sich das Nullstellengebilde nicht ändert, wenn man die Form mit $-1$ multipliziert, kann man davon ausgehen, dass die Anzahl des Vorfaktors $1$ mindestens so groß ist wie die Anzahl des Vorfaktors $-1$.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das quadratische Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} {3X^2 -4XY+5Y^2 +6X+2Y-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zunächst die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {diagonalisieren}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X-3)(X-5) -4
}
{ =} {X^2 -8X +11
}
{ =} { (X-4)^2 -5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind die Eigenwerte gleich
\mathdisp {x_1 = \sqrt{5} +4 \text{ und } x_2 = -\sqrt{5} +4} { . }
Eigenvektoren sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 \\\sqrt{5} + 1 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 2 \\\sqrt{5} - 1 \end{pmatrix}} { . }
Daher bilden
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 10 + 2 \sqrt{5 } } } } \begin{pmatrix} -2 \\\sqrt{5} + 1 \end{pmatrix} \text{ und } { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{5 } } } } \begin{pmatrix} 2 \\\sqrt{5} - 1 \end{pmatrix}} { . }
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen
\mathkor {} {X, Y} {und} {Z} {}
mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf
\mathl{0,1,-1}{} beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist.
\auflistungsieben{
\mathl{Y^2+X^2-Z \,}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist ein \stichwort {Paraboloid} {.}
}{
\mathl{Y^2-X^2 -Z \,}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist eine \stichwort {Sattelfläche} {.}
}{
\mathl{X^2 + Y^2 + Z^2}{} $\,$ $\,$ Die einzige Lösung ist der \stichwort {Punkt} {}
\mathl{(0,0,0)}{,} das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.
}{
\mathl{X^2 + Y^2 + Z^2 -1}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist eine \stichwort {Sphäre} {,} also die Oberfläche einer Kugel.
}{
\mathl{X^2 + Y^2 - Z^2}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist die Lösungsmenge zur Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z^2
}
{ = }{X^2+Y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Das ist ein runder \zusatzklammer {Doppel} {} {-}\stichwort {Kegel} {.}
}{
\mathl{X^2 + Y^2 - Z^2 -1}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist ein \stichwort {einschaliges Hyperboloid} {.}
}{
\mathl{X^2 + Y^2 - Z^2 +1}{} $\,$ $\,$ Das Nullstellengebilde ist ein \stichwort {zweischaliges Hyperboloid} {.}
}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {quadratische Form}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 3 }{ 2 } } x^2+2y^2+2xy-2yz} { . }
Die zugehörige symmetrische Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 2 } } & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\0 & -1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Wir möchten eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des $\R^3$ finden, bezüglich der die Form Diagonalgestalt besitzt. Dazu müssen wir die Eigenwerte
\zusatzklammer {Hauptwerte} {} {}
der Matrix bestimmen. Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der Matrix ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \begin{pmatrix} X-{ \frac{ 3 }{ 2 } } & -1 & 0 \\ -1 & X-2 & 1 \\0 & 1 & X \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( X-{ \frac{ 3 }{ 2 } } \right) } { \left( X^2-2X-1 \right) } -X
}
{ =} { X^3 - { \frac{ 7 }{ 2 } } X^2+X+ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { (X-1) { \left( X^2 -{ \frac{ 5 }{ 2 } }X- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {(X-1) (X-3) { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
}
{}
{}{,}
die Eigenwerte sind also
\mathdisp {1,3, - { \frac{ 1 }{ 2 } }} { . }
Die zugehörigen Hauptgeraden berechnen sich folgendermaßen.
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Kern der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { }
gleich
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 1 \end{pmatrix}}{,} ein normierter Erzeuger ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 2 }{ \sqrt{6} } } \\ -{ \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } \\ { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } \end{pmatrix}} { . }
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Kern der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 2 } } & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}} { }
gleich
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -1 \end{pmatrix}}{,} ein normierter Erzeuger ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 2 }{ \sqrt{14} } } \\ { \frac{ 3 }{ \sqrt{14} } } \\ - { \frac{ 1 }{ \sqrt{14} } } \end{pmatrix}} { . }
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ - { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Kern der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} - 2 & -1 & 0 \\ -1 & - { \frac{ 5 }{ 2 } } & 1 \\0 & 1 & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
gleich
\mathl{\begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \\1\\ 2 \end{pmatrix}}{,} ein normierter Erzeuger ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 4 \sqrt{21} } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{21} } } \\ { \frac{ 1 }{ \sqrt{21} } } \end{pmatrix}} { . }
Wir bezeichnen diese Eigenvektoren mit
\mathl{u_1,u_2,u_3}{,} sie bilden eine Orthonormalbasis. In den neuen Koordinaten
\mathl{y_1,y_2,y_3}{} bezüglich der neuen Orthonormalbasis schreibt sich die quadratische Form als
\mathdisp {y_1^2 +3 y_2^2 - { \frac{ 1 }{ 2 } } y_3^2} { . }
Dies weiß man allein aufgrund der Eigenwerte, dazu muss man die Eigenvektoren nicht ausrechnen.
Zwischen den beiden Basen besteht die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u_1 \\u_2\\ u_3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 2 }{ \sqrt{6} } } & -{ \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } \\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{14} } } & { \frac{ 3 }{ \sqrt{14} } } & - { \frac{ 1 }{ \sqrt{14} } } \\ - { \frac{ 1 }{ 4 \sqrt{21} } } & { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{21} } } & { \frac{ 1 }{ \sqrt{21} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1 \\e_2\\ e_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Nach
Lemma 14.14
ergibt sich für die Koordinaten
\zusatzklammer {die Dualbasen} {} {}
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} bezüglich der Standardbasis
\zusatzklammer {die eingangs mit \mathlk{x,y,z}{} bezeichnet worden waren} {} {}
und den Koordinaten
\mathl{y_1,y_2,y_3}{} bezüglich der neuen Orthogonalbasis der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 2 }{ \sqrt{6} } } & { \frac{ 2 }{ \sqrt{14} } } & - { \frac{ 1 }{ 4 \sqrt{21} } } \\ -{ \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & { \frac{ 3 }{ \sqrt{14} } } & { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{21} } } \\ { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & - { \frac{ 1 }{ \sqrt{14} } } & { \frac{ 1 }{ \sqrt{21} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 2 }{ \sqrt{6} } }y_1 + { \frac{ 2 }{ \sqrt{14} } } y_2 - { \frac{ 1 }{ 4 \sqrt{21} } } y_3 \\ -{ \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } y_1 + { \frac{ 3 }{ \sqrt{14} } } y_2 + { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{21} } } y_3 \\ { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } y_1 - { \frac{ 1 }{ \sqrt{14} } } y_2 + { \frac{ 1 }{ \sqrt{21} } } y_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}