Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, die mit einer \definitionsverweis {Halbmetrik}{}{} versehen sei. Zeige, dass $M$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, die mit einer \definitionsverweis {Halbmetrik}{}{} $d$ versehen sei. Zeige, dass $d$ genau dann eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {topologische Raum}{}{} $M$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Wir nennen Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {umgebungsäquivalent} {,} wenn für jede
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zugehörigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
Mengen, auf denen jeweils eine
\definitionsverweis {Halbmetrik}{}{}
definiert sei und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart existiert, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,x')
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(\varphi(x), \varphi(x'))
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} Mengen, auf denen jeweils eine \definitionsverweis {Halbmetrik}{}{} definiert sei und es sei \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ eine stetige Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {X/ \sim} {Y/ \sim } {} induziert, die mit den \definitionsverweis {Quotientenabbildungen}{}{} verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ der
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
aller
\definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \defeq} { \betrag { \lim_{n \rightarrow \infty} v_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
auf $V$ gegeben ist. Bestimme $Z$ aus
Lemma 15.11
und $V/Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$, zugehöriger
\definitionsverweis {Halbmetrik}{}{}
$d$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \Vert {v} \Vert = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
$V/Z$ in kanonischer Weise mit der
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
$V/\sim$ übereinstimmt, wobei $\sim$ die zu $d$ gehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist, und dass die induzierte Metrik auf $V/\sim$ von der induzierten
\definitionsverweis {Norm}{}{}
herrührt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei $C^b(X, {\mathbb K} )$ der
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der stetigen beschränkten ${\mathbb K}$-wertigen Funktionen auf $X$, versehen mit der
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Auswertung an $x$, also die Abbildung
\maabbeledisp {} { C^b(X, {\mathbb K})} {{\mathbb K}
} {f} {f(x)
} {,}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {linear}{}{}
und stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher Maßraum}{}{}
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu )}{} derart, dass
\maabbeledisp {} {V} { \R
} {f} { \int_M f d \mu
} {,}
nicht
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, wobei $V$ den
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der beschränkten
\definitionsverweis {integrierbaren Funktionen}{}{}
auf $M$, versehen mit der
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{,}
bezeichnet.
}
{} {}
Eine \definitionswort {topologische Gruppe}{} ist eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$, die zugleich ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist derart, dass die Verknüpfung \maabbeledisp {} {G \times G} {G } {(g,h)} {g \circ h } {,} und die Inversenbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {g} {g^{-1} } {,} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} sind.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {topologischer Vektorraum}{}{} eine \zusatzklammer {additive} {} {} \definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
\mathl{(\R,+)}{,}
\mathl{(\R \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} ,+)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{(\R^n,+)}{,}
\mathl{(S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )}{,} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }}{} bzw.
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{}
sind.
}
{} {}
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {topologischer Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$. Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V'
}
{ =} { \{ f \in \text{Hom}_{\mathbb K} (V,{\mathbb K} ) \, \colon \, f \text{ stetig } \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \definitionswort {topologische Dualraum}{} zu $V$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei $V'$ der
\definitionsverweis {stetige Dualraum}{}{}
zu $V$. Zeige, dass $V'$ über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } , \Vert {x} \Vert = 1 ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem normierten Vektorraum wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {abzählbare Basis}{}{} der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare \definitionsverweis {dichte Teilmenge}{}{} besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu )}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Maßraum}{}{}
und sei $V$ der
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der beschränkten
\definitionsverweis {integrierbaren Funktionen}{}{}
auf $M$, den wir mit der
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
versehen. Zeige, dass
\maabbeledisp {} {V} { \R
} {f} { \int_M f d \mu
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein unendlichdimensionaler \definitionsverweis {normierter}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {V} {\R } {} gibt, die nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}