Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei. Zeige, dass $M$ ein topologischer Raum ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik $d$ versehen sei. Zeige, dass $d$ genau dann eine Metrik ist, wenn der topologische Raum $M$ ein Hausdorffraum ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Wir nennen Punkte  $x,y\in X$  umgebungsäquivalent, wenn für jede offene Menge  $U\subseteq X$  die Zugehörigkeit  $x\in U$  genau dann gilt, wenn  $y\in U$  gilt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei

$\phi :X⟶Y$

eine Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann stetig ist, wenn es zu jedem  $x\in X$  und jedem  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  derart existiert, dass aus  $d(x,x^{\prime })\le \delta$  die Abschätzung  $d(\phi (x),\phi (x^{\prime }))\le ϵ$  folgt.

Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, auf denen jeweils eine Halbmetrik definiert sei und es sei

$\phi :X⟶Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass $\phi$ eine stetige Abbildung

$\tilde{\phi }:X/\sim ⟶Y/\sim$

induziert, die mit den Quotientenabbildungen verträglich ist.

Aufgabe

Es sei $V$ der $ℝ$-Vektorraum aller konvergenten Folgen. Zeige, dass durch

$\Vert v\Vert :=|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{v}_n|$

eine Halbnorm auf $V$ gegeben ist. Bestimme $Z$ aus Lemma 15.11 und $V/Z$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit einer Halbnorm $\Vert -\Vert$, zugehöriger Halbmetrik $d$ und sei

$Z=\{v\in V\mid \Vert v\Vert =0\}.$

Zeige, dass der Restklassenraum $V/Z$ in kanonischer Weise mit der Quotientenmenge $V/\sim$ übereinstimmt, wobei $\sim$ die zu $d$ gehörige Äquivalenzrelation ist, und dass die induzierte Metrik auf $V/\sim$ von der induzierten Norm herrührt.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $C^b(X,𝕂)$ der $𝕂$-Vektorraum der stetigen beschränkten $𝕂$-wertigen Funktionen auf $X$, versehen mit der Supremumsnorm. Es sei  $x\in X$.  Zeige, dass die Auswertung an $x$, also die Abbildung

$C^b(X,𝕂)⟶𝕂,f⟼f(x),$

$𝕂$-linear und stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen $\sigma$-endlicher Maßraum $(M,𝒜,\mu )$ derart, dass

$V⟶ℝ,f⟼{\int }_{M}fd\mu ,$

nicht stetig ist, wobei $V$ den $ℝ$-Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf $M$, versehen mit der Supremumsnorm, bezeichnet.

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe $G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G⟶G,(g,h)⟼g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G⟶G,g⟼g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Aufgabe

Zeige, dass ein topologischer Vektorraum eine (additive) topologische Gruppe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen $(ℝ,+)$, $(ℝ\setminus \{0\},\cdot )$, $(ℂ,+)$, $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$, $({ℝ}^n,+)$, $(S^1,\text{ mit der Winkeladdition})$, die allgemeine lineare Gruppe ${\mathrm{GL}}_n\left(ℝ\right)$ bzw. ${\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$ topologische Gruppen sind.

Es sei $V$ ein topologischer Vektorraum über $𝕂$. Dann heißt

$V^{\prime }=\{f\in {\text{Hom}}_{𝕂}(V,𝕂):f\text{ stetig }\}$

der topologische Dualraum zu $V$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein normierter $𝕂$-Vektorraum und sei $V^{\prime }$ der stetige Dualraum zu $V$. Zeige, dass $V^{\prime }$ über

$\Vert f\Vert :=\sup (|f(x)|,\Vert x\Vert =1)$

zu einem normierten Vektorraum wird.

Aufgabe *

Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein endlicher Maßraum und sei $V$ der $ℝ$-Vektorraum der beschränkten integrierbaren Funktionen auf $M$, den wir mit der Supremumsnorm versehen. Zeige, dass

$V⟶ℝ,f⟼{\int }_{M}fd\mu ,$

stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein unendlichdimensionaler normierter $ℝ$-Vektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

$V⟶ℝ$

gibt, die nicht stetig ist.