Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Definitionsabfrage

Definition:Durchschnitt

Zu Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

{}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

{}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,

die Vereinigung der beiden Mengen.

Definition:Teilmenge

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist. Diese Beziehung drückt man durch

{}T\subseteq M\,

aus und sagt auch, dass eine Inklusion ${}T\subseteq M$ vorliegt.

Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$ . Sie wird mit

{\mathfrak {P}}\,(M)

bezeichnet.

Definition:Abbildung

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

aus.

Definition:Konstante Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei ${}c\in M$ ein Element. Dann heißt die Abbildung

L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,

die also jedes Element ${}x\in L$ auf ${}c$ abbildet, die konstante Abbildung zum Wert ${}c$ .

Definition:Identische Abbildung

Es sei ${}M$ eine Menge. Dann heißt die Abbildung

M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,

die also jedes Element ${}x\in M$ auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf ${}M$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Id}$ oder ${}\operatorname {Id} _{M}$ bezeichnet.

Definition:Bild unter einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ heißt ${}F(S)={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in S{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}$ das Bild von ${}S$ unter ${}F$ . Für ${}S=L$ heißt

{}F(L)=\operatorname {bild} F\,

das Bild der Abbildung.

Definition:Urbild unter einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

{}F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}\,

das Urbild von ${}T$ unter ${}F$ . Für eine einelementige Teilmenge ${}T=\{y\}$ heißt

F^{-1}(\{y\})

das Urbild von ${}y$ .

Definition:Injektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

{}F(x)=y\,

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Umkehrabbildung

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

G\colon M\longrightarrow L,

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$ .

Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

und

G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$ .

Definition:Relation

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen. Eine Relation ${}R$ zwischen den Mengen ${}M$ und ${}N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times N$ , also ${}R\subseteq M\times N$ .

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

F\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung. Dann nennt man

{}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,

den Graphen der Abbildung ${}F$ .

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$ , also ${}R\subseteq M\times M$ .

Definition:Relationseigenschaften

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}R\subseteq M\times M$ eine Relation auf ${}M$ . Man nennt ${}R$

reflexiv, wenn

${}(x,x)\in R$ gilt für alle ${}x\in M$ .

transitiv, wenn für beliebige

${}x,y,z\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und aus ${}(y,z)\in R$ stets ${}(x,z)\in R$ folgt.

symmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ auch ${}(y,x)\in R$ folgt.

antisymmetrisch, wenn für beliebige

${}x,y\in M$ aus ${}(x,y)\in R$ und ${}(y,x)\in R$ die Gleichheit ${}x=y$ folgt.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$ , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$ ).

Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$ , dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}x\in M$ . Dann ist

{}[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$ .

Definition:Quotientenmenge

Sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

{}M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,

die Quotientenmenge von ${}R$ .

Definition:Kanonische Projektion

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],

heißt kanonische Projektion von ${}R$ .

Definition:Induktives Zählsystem

Eine Menge ${}M$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in M$ und einer (Nachfolger-)Abbildung

'\colon M\longrightarrow M,\,z\longmapsto z',

heißt Zählsystem (oder induktives Zählsystem), wenn das folgende Induktionsaxiom erfüllt ist:

Für jede Teilmenge ${}T\subseteq M$ gilt: wenn die beiden Eigenschaften

${}0\in T$ ,

mit jedem Element ${}z\in T$ ist auch ${}z'\in T$ ,

gelten, so ist

{}T=M

.

Definition:Dedekind-Peano-Axiome

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
- ${}0\in T$ ,
- mit jedem Element
${}n\in T$ ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$ ${}n'\in T$ ,

gelten, so ist ${}T=N$ .

Definition:Gleichmächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

\varphi \colon L\longrightarrow M

gibt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$ .
Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$ .
Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$ .

Definition:Endliche Menge

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M

gibt.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.

Definition:Kommutative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

{}x\circ y=y\circ x\,

gilt.

Definition:Assoziative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

{}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,

gilt.

Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit ${}x\circ e=x=e\circ x$ gilt.

Definition:Inverses Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,

und einem neutralen Element ${}e\in M$ gegeben. Dann heißt zu einem Element ${}x\in M$ ein Element ${}y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit

{}x\circ y=e=y\circ x\,

gilt.

Definition:Addition mit n

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann definieren wir die Addition mit ${}n$ [[Kategorie:Addition mit ${}n$ (MSW)|~]] als diejenige aufgrund von Lemma 4.1 eindeutig bestimmte Abbildung

\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),

für die

\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}

gilt.

Definition:Multiplikation mit n

Es sei ${}(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann definieren wir die Multiplikation mit ${}n$ [[Kategorie:Multiplikation mit ${}n$ (MSW)|~]] als diejenige aufgrund von Lemma 4.1 eindeutig bestimmte Abbildung

\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),

für die

\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}

gilt.

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

{}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Definition:Gruppe

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt
${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$
Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt
${}g\circ e=g=e\circ g\,.$
Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit
${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Definition:Produktverknüpfung

Es seien ${}(M_{1},\star _{1})$ und ${}(M_{2},\star _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Verknüpfung festgelegt ist. Dann heißt die auf der Produktmenge

M_{1}\times M_{2}

durch

(x_{1},x_{2})\star (y_{1},y_{2}):=(x_{1}\star _{1}y_{1},x_{2}\star _{2}y_{2})

definierte Verknüpfung die Produktverknüpfung

(oder komponentenweise Verknüpfung).

Definition:Kommutativer Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

${}(R,+,0)$ ist eine kommutative Gruppe.
Die Multiplikation ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung und ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.
Es gilt das Distributivgesetz, also
${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$
für alle ${}a,b,c\in R$ .

Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

Axiome der Addition
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$ .
3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$ .
4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$ .
Axiome der Multiplikation
1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$ .
3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$ .
4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$ .
Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ .

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$ . Dann nennt man

{}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,

den Binomialkoeffizienten „ ${}n$ über ${}k$ “.

Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$ ),
Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$ ),

erfüllt.

Definition:Intervalle

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zu ${}a,b\in K$ , ${}a\leq b$ , nennt man

${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

${}]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

${}]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

${}[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Betrag (angeordneter Körper)

In einem angeordneten Körper ${}K$ ist der Betrag eines Elementes ${}x\in K$ folgendermaßen definiert.

{}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,

Definition:Archimedisch angeordnet

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

{}n\geq x\,

gibt.

Definition:Gaußklammer

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ . Die Gaußklammer von ${}x$ ist durch

\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,

definiert.

Definition:Tupel

Es seien ${}I$ und ${}M$ Mengen. Dann nennt man eine Abbildung

x\colon I\longrightarrow M,\,i\longmapsto x_{i},

auch ein ${}I$ -Tupel in ${}M$ . Bei ${}I=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einem ${}n$ -Tupel in ${}M$ .

Definition:Mengenfamilie

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

M_{i}{\text{ , }}i\in I.

Die Menge

{}I

heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Definition:Durchschnitt und Vereinigung von Mengenfamilien

Es sei ${}M_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge ${}G$ . Dann heißt

{}\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,

der Durchschnitt der Mengen und

{}\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,

die Vereinigung der Mengen.

Definition:Produktmenge (Familie)

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

{}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,

die Produktmenge der ${}M_{i}$ .

Definition:Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge in ${}K$ ist eine Abbildung

\mathbb {N} \longrightarrow K,\,n\longmapsto x_{n}.

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$ . Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

{}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

{}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Beschränktheits-Eigenschaften

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}M\subseteq K$ eine Teilmenge.

Ein Element ${}S\in K$ heißt eine obere Schranke für ${}M$ , wenn ${}x\leq S$ für alle ${}x\in M$ gilt.
Ein Element ${}s\in K$ heißt eine untere Schranke für ${}M$ , wenn ${}x\geq s$ für alle ${}x\in M$ gilt.
${}M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für ${}M$ existiert.
${}M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für ${}M$ existiert.
${}M$ heißt beschränkt, wenn ${}M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Ein Element ${}T\in M$ heißt das Maximum von ${}M$ , wenn ${}T\geq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
Ein Element ${}t\in M$ heißt das Minimum von ${}M$ , wenn ${}t\leq x$ für alle ${}x\in M$ gilt.
Eine obere Schranke ${}T$ von ${}M$ heißt das Supremum von ${}M$ , wenn ${}T\leq S$ für alle oberen Schranken ${}S$ von ${}M$ gilt.
Eine untere Schranke ${}t$ von ${}M$ heißt das Infimum von ${}M$ , wenn ${}t\geq s$ für alle unteren Schranken ${}s$ von ${}M$ gilt.

Definition:Wachsende Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$ . Dann heißt die Folge wachsend, wenn ${}x_{n+1}\geq x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$ , und streng wachsend, wenn ${}x_{n+1}>x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Die Folge heißt fallend, wenn ${}x_{n+1}\leq x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und streng fallend, wenn ${}x_{n+1}<x_{n}$ ist für alle ${}n\in \mathbb {N}$ .

Definition:Eulersche Zahl

Die reelle Zahl

{}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,

heißt Eulersche Zahl.

Definition:Komplexe Zahlen

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$ , mit der komponentenweisen Addition und der durch

{}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

{\mathbb {C} }

bezeichnet.

Definition:Real- und Imaginärteil

Zu einer komplexen Zahl

{}z=a+b{\mathrm {i} }\,

heißt

{}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,

der Realteil von ${}z$ und

{}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,

heißt der Imaginärteil von ${}z$ .

Definition:Komplexe Konjugation

Die Abbildung

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },

heißt komplexe Konjugation.

Definition:Betrag einer komplexen Zahl

Zu einer komplexen Zahl

{}z=a+b{\mathrm {i} }\,

ist der Betrag durch

{}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,

definiert.

Definition:Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V=(V,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt ${}V$ einen ${}K$ -Vektorraum, wenn eine Abbildung

K\times V\longrightarrow V,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,

erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v\in V$ beliebig) .

${}1u=u$ .
${}r(su)=(rs)u$ .
${}r(u+v)=ru+rv$ .
${}(r+s)u=ru+su$ .

Definition:Polynom in einer Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

mit

{}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$ .

Definition:Linearkombination

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$ . Dann heißt der Vektor

s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$ ).

Definition:Erzeugendensystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$ , ${}i\in I$ , ein Erzeugendensystem von ${}V$ , wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als

{}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,

mit einer endlichen Teilfamilie ${}J\subseteq I$ und mit ${}s_{j}\in K$ darstellen kann.

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

${}0\in U$ .
Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$ .
Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$ .

Definition:Aufgespannter Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , setzt man

\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ . Dann nennt man

{}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten ${}a_{j}$ , ${}j=1,\ldots ,n$ . Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.

Wenn ${}c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt

{}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$ . Dann nennt man

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Linear unabhängig

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , linear unabhängig, wenn eine Gleichung

\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I

nur bei ${}s_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Definition:Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$ , ${}i\in I$ , von ${}V$ eine Basis von ${}V$ .

Definition:Standardvektor

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann nennt man zu ${}i\in \{1,\ldots ,n\}$ den Vektor

e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)\in K^{n},

wobei

{}1

an der

{}i

-ten Stelle steht, den

{}i

-ten Standardvektor. Die

{}n

Vektoren

e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}

nennt man die Standardbasis des

{}K^{n}

.

Definition:Dimension

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$ , geschrieben

\operatorname {dim} _{}\left(V\right).

Definition:Lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$ .
${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$ .

Definition:Kern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung. Dann nennt man

{}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,

den Kern von ${}\varphi$ .

Definition:Rang einer linearen Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

{}\operatorname {rang} \,\varphi :=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,

den Rang von ${}\varphi$ .

Definition:Isomorphismus (Vektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine bijektive, lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt Isomorphismus.

Definition:Isomorphe Vektorräume

Es sei ${}K$ ein Körper. Zwei ${}K$ - Vektorräume ${}V$ und ${}W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von ${}V$ nach ${}W$ gibt.

Definition:Homomorphismenraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Dann nennt man

{}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

{}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

{}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,

definiert wird.

Definition:Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ und ${}J$ zwei Indexmengen. Eine ${}I\times J$ -Matrix ist eine Abbildung

I\times J\longrightarrow K,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.

Bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einer ${}m\times n$ -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$ - Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$ -Matrix über ${}K$ . Dann ist das Matrixprodukt

AB

diejenige ${}m\times p$ -Matrix, deren Einträge durch

{}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,

gegeben sind.

Definition:Einheitsmatrix

Die ${}n\times n$ - Matrix

{}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,

nennt man die Einheitsmatrix.

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

{}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

{}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,

die inverse Matrix von ${}M$ . Man schreibt dafür

M^{-1}.

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Zu einer linearen Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow W

heißt die ${}m\times n$ - Matrix

{}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$ -te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}

gemäß Satz 12.3 definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

Vertauschung von zwei Zeilen.
Multiplikation einer Zeile mit ${}s\neq 0$ .
Addition des ${}a$ -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition:Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$ - Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$ .
${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$ .
${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$ .

Definition:Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

\operatorname {rang} \,M.

Definition:Determinante (rekursive Definition)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$ -Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$ -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

{}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,

Definition:Multilineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Eine Abbildung

\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W

heißt multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$ -Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ mit ${}v_{j}\in V_{j}$ die induzierte Abbildung

V_{i}\longrightarrow W,\,v_{i}\longmapsto \Phi (v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n}),

${}K$ - linear ist.

Definition:Alternierende Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Eine multilineare Abbildung

\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$ , so ist

{}\Phi (v)=0\,.

Definition:Determinantenfunktion

Es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ . Eine Abbildung

\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K

heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

${}\triangle$ ist multilinear.
${}\triangle$ ist alternierend.

Definition:Transponierte Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann nennt man die ${}n\times m$ -Matrix

{M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}

die transponierte Matrix zu ${}M$ .

Definition:Determinante eines Endomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

{}\det \varphi :=\det M\,

die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$ .

Definition:Adjungierte Matrix

Zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt

M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},

wobei ${}M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur ${}j$ -ten Zeile und zur ${}i$ -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix von ${}M$ .

Definition:Eigenvektor

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ , ein Eigenvektor von ${}\varphi$ (zum Eigenwert ${}\lambda$ ), wenn

{}\varphi (v)=\lambda v\,

mit einem ${}\lambda \in K$ gilt.

Definition:Eigenwert

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ${}\lambda \in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$ , wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

{}\varphi (v)=\lambda v\,

gibt.

Definition:Eigenraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

{}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,

den Eigenraum von ${}\varphi$ zum Wert ${}\lambda$ .

Definition:Diagonalisierbare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

{}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,

mit ${}a_{i}\in K$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

{}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

{}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$ .

Definition:Charakteristisches Polynom

Zu einer ${}n\times n$ - Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$ heißt das Polynom

{}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,

das charakteristische Polynom von ${}M$ .

Definition:Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

mit folgenden Eigenschaften:

Es ist
${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$ , ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
Es ist
${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ .
Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Definition:Euklidischer Vektorraum

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Definition:Orthogonale Vektoren

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Man nennt zwei Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

{}\left\langle v,w\right\rangle =0\,

ist.

Definition:Orthogonales Komplement

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

{}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für  alle }}u\in U\right\}}\,

das orthogonale Komplement von ${}U$ .

Definition:Orthonormalbasis

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j

gilt.

Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

{}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,

die Norm von ${}v$ .

Definition:Abstand (euklidischer Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

{}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$ .

Definition:Metrischer Raum

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$ , wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Definition:Offene Kugel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}x\in M$ und ${}\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist

{}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,

die offene und

{}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,

die abgeschlossene ${}\epsilon$ -Kugel um ${}x$ .

Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen (in $(M,d)$ ), wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

{}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,

existiert.

Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist.

Definition:Beschränkte Teilmenge

Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ eines metrischen Raumes ${}M$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${}b$ mit

d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T

gibt.

Definition:Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

{}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

{}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Häufungspunkt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.

Definition:Teilfolge

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$ , ${}i\longmapsto n_{i}$ , heißt die Folge

i\longmapsto x_{n_{i}}

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Es seien ${}(L,d_{1})$ und ${}(M,d_{2})$ metrische Räume,

f\colon L\longrightarrow M

eine Abbildung und ${}x\in L$ . Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$ , wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

{}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes ${}x\in L$ ist.

Definition:Zusammenhängend

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von ${}X$ gibt (nämlich ${}\emptyset$ und ${}X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Definition:Kompakt

{}(\mathbb {R} ^{m})

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Definition:Maximum und Minimum

Es sei ${}M$ eine Menge und

f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}},

und dass ${}f$ das Minimum annimmt, wenn

f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.

Definition:Lokales Maximum und Minimum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

{}f(x)\geq f(x')\,

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

{}f(x)\leq f(x')\,

gilt.

Definition:Gleichmäßig stetig

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ . Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle ${}x,x'\in L$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ .

Definition:Berührpunkt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${}a\in M$ heißt Berührpunkt von ${}T$ , wenn zu jedem ${}\epsilon >0$ der Durchschnitt

{}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.

Definition:Abschluss (Teilmenge)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von ${}T$ heißt der Abschluss von ${}T$ . Er wird mit ${}{\overline {T}}$ bezeichnet.

Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$ . Es sei

f\colon T\longrightarrow L

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ . Dann heißt ${}b\in L$ der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$ , wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$ ist ${}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$ . In diesem Fall schreibt man

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.

Definition:Stetige Fortsetzung

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

f\colon T\longrightarrow L

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq M$ . Dann heißt eine Abbildung

{\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow L

eine stetige Fortsetzung von ${}f$ , wenn ${}{\tilde {f}}$ stetig ist und ${}{\tilde {f}}(x)=f(x)$ gilt für alle ${}x\in T$ .

Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ .

Definition:Reihe

Es sei ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

{}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.

Falls die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

Eine Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert

konvergiert.

Definition:Summierbare Familie

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

{}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,

gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$ . Im summierbaren Fall heißt ${}s$ die Summe der Familie.

Definition:Cauchy-Familie

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung