Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Definitionsliste

Definition:Durchschnitt

Zu Mengen $L$ und $M$ heißt

$L\cap M=\{x\mid x\in L\text{ und }x\in M\}$

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen $L$ und $M$ heißt

$L\cup M=\{x\mid x\in L\text{ oder }x\in M\}$

die Vereinigung der beiden Mengen.

Definition:Teilmenge

Es seien $T$ und $M$ Mengen. Man sagt, dass $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist. Diese Beziehung drückt man durch

$T\subseteq M$

aus und sagt auch, dass eine Inklusion  $T\subseteq M$  vorliegt.

Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt  $L\cap M=\mathrm{\varnothing }$  ist.

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen $L$ und $M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

$L\times M=\{(x,y)\mid x\in L,y\in M\}$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$. Sie wird mit

$𝔓(M)$

bezeichnet.

Definition:Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu  $x\in L$  eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

aus.

Definition:Konstante Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei  $c\in M$  ein Element. Dann heißt die Abbildung

$L⟶M,x⟼c,$

die also jedes Element  $x\in L$  auf $c$ abbildet, die konstante Abbildung zum Wert $c$.

Definition:Identische Abbildung

Es sei $M$ eine Menge. Dann heißt die Abbildung

$M⟶M,x⟼x,$

die also jedes Element  $x\in M$  auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf $M$. Sie wird mit $\mathrm{Id}$ oder ${\mathrm{Id}}_M$ bezeichnet.

Definition:Bild unter einer Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge  $S\subseteq L$  heißt

$F(S)=\{y\in M\mid \text{es gibt ein }x\in S\text{ mit }F(x)=y\}$

das Bild von $S$ unter $F$. Für  $S=L$  heißt

$F(L)=\mathrm{bild}F$

das Bild der Abbildung.

Definition:Urbild unter einer Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge  $T\subseteq M$  heißt

$F^{-1}(T)=\{x\in L\mid F(x)\in T\}$

das Urbild von $T$ unter $F$. Für eine einelementige Teilmenge  $T=\{y\}$  heißt

$F^{-1}(\{y\})$

das Urbild von $y$.

Definition:Injektiv

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente  $x,x^{\prime }\in L$  auch $F(x)$ und $F(x^{\prime })$ verschieden sind.

Definition:Surjektiv

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes  $y\in M$  mindestens ein Element  $x\in L$  mit

$F(x)=y$

gibt.

Definition:Bijektiv

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei

$F:M⟶L,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Umkehrabbildung

Es sei $F:L\to M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G:M⟶L,$

die jedes Element  $y\in M$  auf das eindeutig bestimmte Element  $x\in L$  mit  $F(x)=y$  abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$.

Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien $L,M$ und $N$ Mengen und

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

und

$G:M⟶N,y⟼G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F:L⟶N,x⟼G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.

Definition:Relation

Es seien $M$ und $N$ Mengen. Eine Relation $R$ zwischen den Mengen $M$ und $N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times N$, also  $R\subseteq M\times N$. 

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Dann nennt man

$\Gamma ={\Gamma }_F=\{(x,F(x))\mid x\in L\}\subseteq L\times M$

den Graphen der Abbildung $F$.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also  $R\subseteq M\times M$. 

Definition:Relationseigenschaften

Es sei $M$ eine Menge und  $R\subseteq M\times M$  eine Relation auf $M$. Man nennt $R$

• reflexiv, wenn

 $(x,x)\in R$  gilt für alle  $x\in M$. 

• transitiv, wenn für beliebige

 $x,y,z\in M$  aus $(x,y)\in R$ und aus $(y,z)\in R$ stets  $(x,z)\in R$  folgt.

• symmetrisch, wenn für beliebige

 $x,y\in M$  aus  $(x,y)\in R$  auch  $(y,x)\in R$  folgt.

• antisymmetrisch, wenn für beliebige

 $x,y\in M$  aus $(x,y)\in R$ und $(y,x)\in R$ die Gleichheit  $x=y$  folgt.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ ist eine Relation  $R\subseteq M\times M$,  die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).

1. Es ist  $x\sim x$  (reflexiv).
2. Aus  $x\sim y$  folgt  $y\sim x$  (symmetrisch).
3. Aus  $x\sim y$  und  $y\sim z$  folgt  $x\sim z$  (transitiv).

Dabei bedeutet  $x\sim y$,  dass das Paar $(x,y)$ zu $R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und  $x\in M$.  Dann ist

$[x]:=\{y\in M\mid (x,y)\in R\}$

die Äquivalenzklasse von $x$ bezüglich $R$.

Definition:Quotientenmenge

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

$M/R:=\{[x]\mid x\in M\}$

die Quotientenmenge von $R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und $M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_R:M⟶M/R,x⟼[x],$

heißt kanonische Projektion von $R$.

Definition:Induktives Zählsystem

Eine Menge $M$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in M$ und einer (Nachfolger-)Abbildung

${:}^{\prime }M⟶M,z⟼z^{\prime },$

heißt Zählsystem (oder induktives Zählsystem), wenn das folgende Induktionsaxiom erfüllt ist:

Für jede Teilmenge $T\subseteq M$ gilt: wenn die beiden Eigenschaften

• $0\in T$,

• mit jedem Element $z\in T$ ist auch $z^{\prime }\in T$,

gelten, so ist $T=M$.

Definition:Dedekind-Peano-Axiome

Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element  $0\in N$  (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

${:}^{\prime }N⟶N,n⟼n^{\prime },$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element $0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes  $n\in N$  ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge  $T\subseteq N$  gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   •  $0\in T$, 
   • mit jedem Element
    $n\in T$  ist auch  $n^{\prime }\in T$, 

gelten, so ist  $T=N$. 

Definition:Gleichmächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen $L$ und $M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

$\phi :L⟶M$

gibt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  $i\preccurlyeq i$  für alle  $i\in I$. 
2. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq k$  folgt stets  $i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq i$  folgt  $i=j$. 

Definition:Endliche Menge

Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\dots ,n\}⟶M$

gibt.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼\circ (x,y)=x\circ y.$

Definition:Kommutative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

auf einer Menge $M$ heißt kommutativ, wenn für alle  $x,y\in M$  die Gleichheit

$x\circ y=y\circ x$

gilt.

Definition:Assoziative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

auf einer Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle  $x,y,z\in M$  die Gleichheit

$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

gilt.

Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element  $e\in M$  neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle  $x\in M$  die Gleichheit  $x\circ e=x=e\circ x$  gilt.

Definition:Inverses Element

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

und einem neutralen Element  $e\in M$  gegeben. Dann heißt zu einem Element  $x\in M$  ein Element  $y\in M$  inverses Element (zu $x$), wenn die Gleichheit

$x\circ y=e=y\circ x$

gilt.

Definition:Addition mit n

Es sei $(\mathbb{N},0{,}^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann definieren wir die Addition mit $n$ als diejenige aufgrund von Lemma 4.1 eindeutig bestimmte Abbildung

${\alpha }_n:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},k⟼{\alpha }_n(k),$

für die

${\alpha }_n(0)=n\text{ und }{\alpha }_n(k^{\prime })=({\alpha }_n(k){)}^{\prime }\text{ für alle }k\in \mathbb{N}$

gilt.

Definition:Multiplikation mit n

Es sei $(\mathbb{N},0{,}^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann definieren wir die Multiplikation mit $n$ als diejenige aufgrund von Lemma 4.1 eindeutig bestimmte Abbildung

${\mu }_n:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},k⟼{\mu }_n(k),$

für die

${\mu }_n(0)=0\text{ und }{\mu }_n(k^{\prime })={\mu }_n(k)+n\text{ für alle }k\in \mathbb{N}$

gilt.

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die Zahl

$n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$

die Fakultät von $n$ (sprich $n$ Fakultät).

Definition:Gruppe

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element  $e\in G$  und mit einer Verknüpfung

$G\times G⟶G,(g,h)⟼g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle  $f,g,h\in G$  gilt

   $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

2. Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle  $g\in G$  gilt

   $g\circ e=g=e\circ g.$

3. Zu jedem  $g\in G$  gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein  $h\in G$  mit

   $h\circ g=g\circ h=e.$

Definition:Produktverknüpfung

Es seien $(M_1,{\star }_1)$ und $(M_2,{\star }_2)$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Verknüpfung festgelegt ist. Dann heißt die auf der Produktmenge

$M_1\times M_2$

durch

$(x_1,x_2)\star (y_1,y_2):=(x_1{\star }_1{y}_1,x_2{\star }_2{y}_2)$

definierte Verknüpfung die Produktverknüpfung

(oder komponentenweise Verknüpfung).

Definition:Kommutativer Ring

Ein kommutativer Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. $(R,+,0)$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Die Multiplikation ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung und $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

   für alle $a,b,c\in R$.

Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K⟶K\text{ und }\cdot :K\times K⟶K$

und zwei verschiedene Elemente  $0,1\in K$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in K$  gilt:  $(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  $a,b\in K$  gilt  $a+b=b+a$. 
   3. $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  $a\in K$  ist  $a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  $a\in K$  gibt es ein Element  $b\in K$  mit  $a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in K$  gilt:  $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  $a,b\in K$  gilt  $a\cdot b=b\cdot a$. 
   3. $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  $a\in K$  ist  $a\cdot 1=a$. 
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem  $a\in K$  mit  $a\ne 0$  gibt es ein Element  $c\in K$  mit  $a\cdot c=1$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  $a,b,c\in K$  gilt  $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$. 

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen mit  $k\le n$.  Dann nennt man

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}):=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

den Binomialkoeffizienten „ $n$ über $k$ “.

Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung $\ge$ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus  $a\ge b$  folgt  $a+c\ge b+c$  (für beliebige $a,b,c\in K$),
2. Aus  $a\ge 0$  und  $b\ge 0$  folgt  $ab\ge 0$  (für beliebige $a,b\in K$),

erfüllt.

Definition:Intervalle

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b\in K$, $a\le b$, nennt man

•  $[a,b]=\{x\in K\mid a\le x\text{ und }x\le b\}$ 

das abgeschlossene Intervall.

•  $]a,b[=\{x\in K\mid a<x\text{ und }x<b\}$ 

das offene Intervall.

•  $]a,b]=\{x\in K\mid a<x\text{ und }x\le b\}$ 

das linksseitig offene Intervall.

•  $[a,b[=\{x\in K\mid a\le x\text{ und }x<b\}$ 

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Betrag (angeordneter Körper)

In einem angeordneten Körper $K$ ist der Betrag eines Elementes  $x\in K$  folgendermaßen definiert.

$|x|=\{\begin{array}{c}x,\text{ falls }x\ge 0,\\ -x,\text{ falls }x<0.\end{array}$

Definition:Archimedisch angeordnet

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt $K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem  $x\in K$  eine natürliche Zahl $n$ mit

$n\ge x$

gibt.

Definition:Gaußklammer

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und  $x\in K$.  Die Gaußklammer von $x$ ist durch

$\lfloor x\rfloor =n,\text{ falls }x\in [n,n+1[\text{ und }n\in \mathbb{Z},$

definiert.

Definition:Tupel

Es seien $I$ und $M$ Mengen. Dann nennt man eine Abbildung

$x:I⟶M,i⟼x_i,$

auch ein $I$-Tupel in $M$. Bei $I=\{1,\dots ,n\}$ spricht man von einem $n$-Tupel in $M$.

Definition:Mengenfamilie

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem  $i\in I$  sei eine Menge $M_i$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

$M_i\text{ , }i\in I.$

Die Menge $I$ heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Definition:Durchschnitt und Vereinigung von Mengenfamilien

Es sei $M_i$, $i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge $G$. Dann heißt

$\bigcap _{i\in I}{M}_i=\{x\in G\mid x\in M_i\text{ für alle }i\in I\}$

der Durchschnitt der Mengen und

$\bigcup _{i\in I}{M}_i=\{x\in G\mid \text{es gibt ein }i\in I\text{ mit }x\in M_i\}$

die Vereinigung der Mengen.

Definition:Produktmenge (Familie)

Es sei $I$ eine Menge und zu jedem  $i\in I$  sei eine Menge $M_i$ gegeben. Dann nennt man die Menge

$M=\prod _{i\in I}{M}_i=\{(x_i{)}_{i\in I}:x_i\in M_i\text{ für alle }i\in I\}$

die Produktmenge der $M_i$.

Definition:Folge

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge in $K$ ist eine Abbildung

$\mathbb{N}⟶K,n⟼x_n.$

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei  $x\in K$.  Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Beziehung

$|x_n-x|\le ϵ$

gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Beschränktheits-Eigenschaften

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $M\subseteq K$  eine Teilmenge.

1. Ein Element  $S\in K$  heißt eine obere Schranke für $M$, wenn  $x\le S$  für alle  $x\in M$  gilt.
2. Ein Element  $s\in K$  heißt eine untere Schranke für $M$, wenn  $x\ge s$  für alle  $x\in M$  gilt.
3. $M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für $M$ existiert .
4. $M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für $M$ existiert.
5. $M$ heißt beschränkt , wenn $M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
6. Ein Element  $T\in M$  heißt das Maximum von $M$, wenn  $T\ge x$  für alle  $x\in M$  gilt.
7. Ein Element  $t\in M$  heißt das Minimum von $M$, wenn  $t\le x$  für alle  $x\in M$  gilt.
8. Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn  $T\le S$  für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
9. Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn  $t\ge s$  für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.

Definition:Wachsende Folge

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$. Dann heißt die Folge wachsend, wenn  $x_{n+1}\ge x_n$  ist für alle  $n\in \mathbb{N}$,  und streng wachsend, wenn  $x_{n+1}>x_n$  ist für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Die Folge heißt fallend, wenn  $x_{n+1}\le x_n$  ist für alle  $n\in \mathbb{N}$  und streng fallend, wenn  $x_{n+1}<x_n$  ist für alle  $n\in \mathbb{N}$. 

Definition:Eulersche Zahl

Die reelle Zahl

$e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$

heißt Eulersche Zahl.

Definition:Komplexe Zahlen

Die Menge ${ℝ}^2$ mit $0:=(0,0)$ und $1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

$(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

$ℂ$

bezeichnet.

Definition:Real- und Imaginärteil

Zu einer komplexen Zahl

$z=a+b\mathrm{i}$

heißt

$\mathrm{Re}\left(z\right)=a$

der Realteil von $z$ und

$\mathrm{Im}\left(z\right)=b$

heißt der Imaginärteil von $z$.

Definition:Komplexe Konjugation

Die Abbildung

$ℂ⟶ℂ,z=a+b\mathrm{i}⟼\bar{z}:=a-b\mathrm{i},$

heißt komplexe Konjugation.

Definition:Betrag einer komplexen Zahl

Zu einer komplexen Zahl

$z=a+b\mathrm{i}$

ist der Betrag durch

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

definiert.

Definition:Vektorraum

Es sei $K$ ein Körper und  $V=(V,+,0)$  eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $K$-Vektorraum, wenn eine Abbildung

$K\times V⟶V,(r,v)⟼rv=r\cdot v,$

erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in K$ und $u,v\in V$ beliebig):

1.  $1u=u$, 
2.  $r(su)=(rs)u$, 
3.  $r(u+v)=ru+rv$, 
4.  $(r+s)u=ru+su$. 

Definition:Polynom in einer Variablen

Es sei $K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit $a_i\in K\text{ und }n\in \mathbb{N}$

heißt Polynom in einer Variablen über $K$.

Definition:Linearkombination

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor

$s_1{v}_1+s_2{v}_2+\cdots +s_n{v}_n\text{ mit }{s}_i\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel $(s_1,\dots ,s_n)$).

Definition:Erzeugendensystem

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie $v_i\in V$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor  $v\in V$  als

$v=\sum _{j\in J}{s}_j{v}_j$

mit einer endlichen Teilfamilie  $J\subseteq I$  und mit  $s_j\in K$  darstellen kann.

Definition:Untervektorraum

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Teilmenge  $U\subseteq V$  heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1.  $0\in U$. 
2. Mit  $u,v\in U$  ist auch  $u+v\in U$. 
3. Mit  $u\in U$  und  $s\in K$  ist auch  $su\in U$. 

Definition:Aufgespannter Unterraum

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu einer Familie $v_i$, $i\in I$, setzt man

$⟨v_i,i\in I⟩=\{\sum _{i\in J}{s}_i{v}_i\mid s_i\in K,J\subseteq I\text{ endliche Teilmenge}\}$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei $K$ ein Körper und  $a_1,\dots ,a_n\in K$.  Dann nennt man

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$ zu den Koeffizienten $a_j$, $j=1,\dots ,n$. Ein Tupel $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_j{\xi }_j=0$  ist.

Wenn  $c\in K$  ein weiteres Element ist, so heißt

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=c$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel $({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)\in K^n$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_j{\zeta }_j=c$  ist.

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei $K$ ein Körper und  $a_{ij}\in K$  für $1\le i\le m$ und $1\le j\le n$. Dann nennt man

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$. Ein Tupel  $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$  heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_j=0$  für alle  $i=1,\dots ,m$  ist.

Wenn  $(c_1,\dots ,c_m)\in K^m$  beliebig ist, so heißt

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& c_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& c_m\end{array}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel  $({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)\in K^n$  heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\zeta }_j=c_i$  für alle $i$ ist.

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei $K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Linear unabhängig

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren $v_i$, $i\in I$, linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i\in J}{s}_i{v}_i=0\text{ mit }{s}_i\in K\text{ für eine endliche Teilmenge }J\subseteq I$

nur bei  $s_i=0$  für alle $i$ möglich ist.

Definition:Basis

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem $v_i\in V$, $i\in I$, von $V$ eine Basis von $V$.

Definition:Standardvektor

Es sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb{N}$. Dann nennt man zu $i\in \{1,\dots ,n\}$ den Vektor

$e_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)\in K^n,$

wobei $1$ an der $i$-ten Stelle steht, den $i$-ten Standardvektor. Die $n$ Vektoren

$e_1,e_2,\dots ,e_n$

nennt man die Standardbasis des $K^n$.

Definition:Dimension

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von $V$ die Dimension von $V$, geschrieben

${\dim }_K\left(V\right).$

Definition:Lineare Abbildung

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung

$\phi :V⟶W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1.  $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$  für alle  $u,v\in V$. 
2.  $\phi (sv)=s\phi (v)$  für alle $s\in K$ und $v\in V$.

Definition:Kern

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung. Dann nennt man

$\mathrm{kern}\phi :={\phi }^{-1}(0)=\{v\in V\mid \phi (v)=0\}$

den Kern von $\phi$.

Definition:Rang einer linearen Abbildung

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man

$\mathrm{rang}\phi :={\dim }_K(\mathrm{bild}\phi )$

den Rang von $\phi$.

Definition:Isomorphismus (Vektorräume)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine bijektive, lineare Abbildung

$\phi :V⟶W$

heißt Isomorphismus.

Definition:Isomorphe Vektorräume

Es sei $K$ ein Körper. Zwei $K$-Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.

Definition:Homomorphismenraum

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Dann nennt man

${\mathrm{Hom}}_K(V,W)=\{f:V\to W\mid f\text{ lineare Abbildung}\}$

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

$(f+g)(v):=f(v)+g(v)$

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

$(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)$

definiert wird.

Definition:Matrix

Es sei $K$ ein Körper und $I$ und $J$ Indexmengen. Eine $I\times J$-Matrix ist eine Abbildung

$I\times J⟶K,(i,j)⟼a_{ij}.$

Bei  $I=\{1,\dots ,m\}$  und  $J=\{1,\dots ,n\}$  spricht man von einer $m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right).$

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}$

gegeben sind.

Definition:Einheitsmatrix

Die $n\times n$-Matrix

$E_n:=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 1\end{array}\right)$

nennt man die Einheitsmatrix.

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt $M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix  $A\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  mit

$A\circ M=E_n=M\circ A$

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei $K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  heißt die Matrix  $A\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  mit

$A\circ M=E_n=M\circ A$

die inverse Matrix von $M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis  $𝔳=v_1,\dots ,v_n$  und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis  $𝔴=w_1,\dots ,w_m$. 

Zu einer linearen Abbildung

$\phi :V⟶W$

heißt die $m\times n$-Matrix

$M=M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )=(a_{ij}{)}_{ij},$

wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\phi (v_j)$ bezüglich der Basis $𝔴$ ist, die beschreibende Matrix zu $\phi$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix  $M=(a_{ij}{)}_{ij}\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$  heißt die durch

$v_j⟼\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i$

gemäß Satz 12.3 definierte lineare Abbildung ${\phi }_{𝔴}^{𝔳}(M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.

Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an $M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit  $s\ne 0$. 
3. Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition:Elementarmatrizen

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. $V_{ij}:=E_n-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. $S_k(s):=E_n+(s-1)B_{kk}\text{ für }s\ne 0$.
3. $A_{ij}(a):=E_n+a{B}_{ij}\text{ für }i\ne j\text{ und }a\in K$.

Definition:Spaltenrang

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^m$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

$\mathrm{rang}M.$

Definition:Determinante (rekursive Definition)

Es sei $K$ ein Körper und sei  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu  $i\in \{1,\dots ,n\}$  sei $M_i$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch

$detM=\{\begin{array}{cc}{a}_{11},& \text{falls }n=1,\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}det{M}_i& \text{ für }n\ge 2.\end{array}$

Definition:Multilineare Abbildung

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung

$\Phi :V_1\times \cdots \times V_n⟶W$

heißt multilinear, wenn für jedes  $i\in \{1,\dots ,n\}$  und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,v_n)$ mit  $v_j\in V_j$  die induzierte Abbildung

$V_i⟶W,v_i⟼\Phi (v_1,\dots ,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\dots ,v_n),$

$K$-linear ist.

Definition:Alternierende Abbildung

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei  $n\in \mathbb{N}$.  Eine multilineare Abbildung

$\Phi :V^n=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{V\times \cdots \times V}}⟶W$

heißt alternierend, wenn Folgendes gilt: Falls in  $v=(v_1,\dots ,v_n)$  zwei Einträge übereinstimmen, also  $v_i=v_j$  für ein Paar  $i\ne j$,  so ist

$\Phi (v)=0.$

Definition:Determinantenfunktion

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Eine Abbildung

$\mathrm{△}:V^n⟶K$

heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. $\mathrm{△}$ ist multilinear.
2. $\mathrm{△}$ ist alternierend.

Definition:Transponierte Matrix

Es sei $K$ ein Körper und sei  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die $n\times m$-Matrix

$M^{\text{tr}}=(b_{ij}{)}_{ij}\text{ mit }{b}_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu $M$.

Definition:Determinante eines Endomorphismus

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Dann nennt man

$det\phi :=detM$

die Determinante der linearen Abbildung $\phi$.

Definition:Adjungierte Matrix (Adjunkte)

Zu einer quadratischen Matrix  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  heißt

$M^{\mathrm{adj}}=(b_{ij})\text{ mit }{b}_{ij}=(-1{)}^{i+j}det{M}_{ji},$

wobei $M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur $j$-ten Zeile und zur $i$-ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von $M$.

Definition:Eigenvektor

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element $v\in V$, $v\ne 0$, ein Eigenvektor von $\phi$ (zum Eigenwert $\lambda$), wenn

$\phi (v)=\lambda v$

mit einem  $\lambda \in K$  gilt.

Definition:Eigenwert

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element  $\lambda \in K$  ein Eigenwert zu $\phi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor  $v\in V$  mit

$\phi (v)=\lambda v$

gibt.

Definition:Eigenraum

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zu  $\lambda \in K$  nennt man

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right):=\{v\in V\mid \phi (v)=\lambda v\}$

den Eigenraum von $\phi$ zum Wert $\lambda$.

Definition:Diagonalisierbare Abbildung

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt $\phi$ diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu $\phi$ besitzt.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit  $a_i\in K$,   $n\in \mathbb{N}$,  und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

$X^n\cdot X^m:=X^{n+m}$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit  $a_n\ne 0$  ist $n$.

Definition:Charakteristisches Polynom

Zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$ heißt das Polynom

${\chi }_M:=det(X\cdot E_n-M)$

das charakteristische Polynom von $M$.

Definition:Skalarprodukt

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung

$V\times V⟶ℝ,(v,w)⟼⟨v,w⟩,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   $⟨{\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2,y⟩={\lambda }_1⟨x_1,y⟩+{\lambda }_2⟨x_2,y⟩$

   für alle  ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$,   $x_1,x_2\in V$  und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   $⟨v,w⟩=⟨w,v⟩$

   für alle  $v,w\in V$. 

3. Es ist  $⟨v,v⟩\ge 0$  für alle  $v\in V$  und  $⟨v,v⟩=0$  genau dann, wenn  $v=0$  ist.

Definition:Euklidischer Vektorraum

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Definition:Orthogonale Vektoren

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Man nennt zwei Vektoren  $v,w\in V$  orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

$⟨v,w⟩=0$

ist.

Definition:Orthogonales Komplement

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Dann heißt

$U^{\perp }=\{v\in V\mid ⟨v,u⟩=0\text{ für alle }u\in U\}$

das orthogonale Komplement von $U$.

Definition:Orthonormalbasis

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$⟨v_i,v_i⟩=1\text{ für }\text{alle }i\text{ und }⟨v_i,v_j⟩=0\text{ für }i\ne j$

gilt.

Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Dann nennt man zu einem Vektor  $v\in V$  die reelle Zahl

$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$

die Norm von $v$.

Definition:Abstand (euklidischer Vektorraum)

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zu zwei Vektoren  $v,w\in V$  nennt man

$d(v,w):=\Vert v-w\Vert$

den Abstand zwischen $v$ und $w$.

Definition:Metrischer Raum

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung $d:M\times M\to ℝ$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle  $x,y,z\in M$  die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  $d(x,y)=0$  genau dann, wenn  $x=y$  ist (Definitheit),
2.  $d(x,y)=d(y,x)$  (Symmetrie), und
3.  $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$  (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar $(M,d)$, wobei $M$ eine Menge und $d:M\times M\to ℝ$ eine Metrik ist.

Definition:Offene Kugel

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum,  $x\in M$  und  $ϵ>0$  eine positive reelle Zahl. Es ist

$U(x,ϵ)=\{y\in M\mid d(x,y)<ϵ\}$

die offene und

$B(x,ϵ)=\{y\in M\mid d(x,y)\le ϵ\}$

die abgeschlossene $ϵ$-Kugel um $x$.

Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge  $U\subseteq M$  heißt offen (in $(M,d)$), wenn für jedes  $x\in U$  ein  $ϵ>0$  mit

$U(x,ϵ)\subseteq U$

existiert.

Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge  $A\subseteq M$  heißt abgeschlossen, wenn das Komplement $M\setminus A$ offen ist.

Definition:Beschränkte Teilmenge

Eine Teilmenge  $T\subseteq M$  eines metrischen Raumes $M$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $b$ mit

$d(x,y)\le b\text{ für alle }x,y\in T$

gibt.

Definition:Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$. Man sagt, dass die Folge gegen  $x\in M$  konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in ℝ$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Beziehung

$d(x_n,x)\le ϵ$

gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Häufungspunkt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$. Ein Punkt  $x\in M$  heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes  $ϵ>0$  unendlich viele Folgenglieder $x_n$ mit  $d(x_n,x)\le ϵ$  gibt.

Definition:Teilfolge

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $M$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$, $i⟼n_i$, heißt die Folge

$i⟼x_{n_i}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Es seien $(L,d_1)$ und $(M,d_2)$ metrische Räume,

$f:L⟶M$

eine Abbildung und  $x\in L$.  Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  derart existiert, dass

$f\left(B(x,\delta )\right)\subseteq B(f(x),ϵ)$

gilt. Die Abbildung $f$ heißt stetig, wenn sie stetig in $x$ für jedes  $x\in L$  ist.

Definition:Zusammenhängend

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von $X$ gibt (nämlich $\mathrm{\varnothing }$ und $X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Definition:Kompakt $({ℝ}^m)$

Eine Teilmenge  $T\subseteq {ℝ}^m$  heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Definition:Maximum und Minimum

Es sei $M$ eine Menge und

$f:M⟶ℝ$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt  $x\in M$  das Maximum annimmt, wenn

$f(x)\ge f(x^{\prime })\text{ für alle }{x}^{\prime }\in M\text{ gilt},$

und dass $f$ das Minimum annimmt, wenn

$f(x)\le f(x^{\prime })\text{ für alle }{x}^{\prime }\in M\text{ gilt}.$

Definition:Lokales Maximum und Minimum

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f:M⟶ℝ$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt  $x\in M$  ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass für alle $x^{\prime }\in M$ mit $d(x,x^{\prime })\le ϵ$ die Abschätzung

$f(x)\ge f(x^{\prime })$

gilt. Man sagt, dass $f$ in  $x\in M$  ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass für alle $x^{\prime }\in M$ mit $d(x,x^{\prime })\le ϵ$ die Abschätzung

$f(x)\le f(x^{\prime })$

gilt.

Definition:Gleichmäßig stetig

Es sei

$f:L⟶M,x⟼f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle  $x,x^{\prime }\in L$  mit  $d(x,x^{\prime })\le \delta$  ist  $d(f(x),f(x^{\prime }))\le ϵ$. 

Definition:Berührpunkt

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Ein Punkt  $a\in M$  heißt Berührpunkt von $T$, wenn zu jedem  $ϵ>0$  der Durchschnitt

$T\cap U(a,ϵ)\ne \mathrm{\varnothing }.$

Definition:Abschluss (Teilmenge)

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von $T$ heißt der Abschluss von $T$. Er wird mit $\bar{T}$ bezeichnet.

Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  $T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  $a\in M$  ein Berührpunkt von $T$. Es sei

$f:T⟶L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$. Dann heißt  $b\in L$  der Grenzwert (oder Limes) von $f$ in $a$, wenn es für jedes  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes  $x\in B(a,\delta )\cap T$  ist  $f(x)\in B(b,ϵ)$.  In diesem Fall schreibt man

${\lim }_{x\to a}f(x)=b.$

Definition:Stetige Fortsetzung

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge. Es sei

$f:T⟶L$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum $L$ und es sei $T\subseteq \tilde{T}\subseteq M$. Dann heißt eine Abbildung

$\tilde{f}:\tilde{T}⟶L$

eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn $\tilde{f}$ stetig ist und $\tilde{f}(x)=f(x)$ gilt für alle $x\in T$.

Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼b^x,$

heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.

Definition:Reihe

Es sei ${\left(a_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ versteht man die Folge ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ der Partialsummen

$s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k.$

Falls die Folge ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$

konvergiert.

Definition:Summierbare Familie

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_i$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein  $s\in ℂ$  mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem  $ϵ>0$  gibt es eine endliche Teilmenge  $E_0\subseteq I$  derart, dass für alle endlichen Teilmengen  $E\subseteq I$  mit  $E_0\subseteq E$  die Beziehung

$|a_E-s|\le ϵ$

gilt. Dabei ist  $a_E=\sum _{i\in E}{a}_i$.  Im summierbaren Fall heißt $s$ die Summe der Familie.

Definition:Cauchy-Familie

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_i$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem  $ϵ>0$  eine endliche Teilmenge  $E_0\subseteq I$  derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge  $D\subseteq I$  mit  $E_0\cap D=\mathrm{\varnothing }$  die Beziehung

$|a_D|\le ϵ$

gilt. Dabei ist  $a_D=\sum _{i\in D}{a}_i$. 

Definition:Cauchy-Produkt

Zu Reihen $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ und $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\text{ mit }{c}_k=\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Definition:Potenzreihe

Es sei ${\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von komplexen Zahlen und $z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$

die Potenzreihe in $z$ zu den Koeffizienten ${\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Definition:Exponentialreihe

Für jedes  $z\in ℂ$  heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

die Exponentialreihe in $z$.

Definition:Exponentialfunktion

Die Abbildung

$ℂ⟶ℂ,z⟼\exp z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Definition:Sinusreihe und Kosinusreihe

Für  $z\in ℂ$  heißt

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

die Sinusreihe zu $z$.

Definition:Punktweise konvergente Abbildungsfolge

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und

$f_n:T⟶M$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes  $x\in T$  die Folge

${(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}$

konvergiert.

Definition:Gleichmäßig konvergente Abbildungsfolge

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und

$f_n:T⟶M$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung

$f:T⟶M$

derart gibt, dass es zu jedem  $ϵ>0$  ein $n_0$ gibt mit

$d(f_n(x),f(x))\le ϵ\text{ für alle }n\ge n_0\text{ und alle }x\in T.$

Definition:Supremumsnorm

Es sei $T$ eine Menge und

$f:T⟶𝕂$

eine Funktion. Dann nennt man

$\Vert f\Vert :=\Vert f{\Vert }_T=\sup (|f(x)||x\in T)$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von $f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder $\mathrm{\infty }$.

Definition:Konvergenzradius

Für eine Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

heißt

$\sup (|b-a|,b\in ℂ,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(b-a{)}^n\text{ konvergiert})$

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder $=\mathrm{\infty }$.

Definition:Differenzenquotient

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen,  $a\in D$  ein Punkt und

$f:D⟶𝕂$

eine Funktion. Zu $x\in D$, $x\ne a$, heißt die Zahl

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

der Differenzenquotient von $f$ zu $a$ und $x$.

Definition:Differenzierbarkeit

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen,  $a\in D$  ein Punkt und

$f:D⟶𝕂$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der Limes

${\lim }_{x\in D\setminus \{a\},x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von $f$ in $a$, geschrieben

$f^{\prime }(a).$

Definition:Ableitungsfunktion

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen und

$f:D⟶𝕂$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt  $a\in D$  die Ableitung $f^{\prime }(a)$ von $f$ in $a$ existiert. Die Abbildung

$f^{\prime }:D⟶𝕂,x⟼f^{\prime }(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von $f$.

Definition:Höhere Ableitungen

Es sei  $U\subseteq 𝕂$  offen und

$f:U⟶𝕂$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ $n$-mal differenzierbar ist, wenn $f$ $(n-1)$-mal differenzierbar ist und die $(n-1)$-te Ableitung $f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung

$f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)}{)}^{\prime }(z)$

nennt man dann die $n$-te Ableitung von $f$.

Definition:Die Zahl $\pi$

Es sei $s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall $[0,2]$. Die Kreiszahl $\pi$ ist durch

$\pi :=2s$

definiert.

Definition:Taylor-Polynom

Es sei  $U\subseteq 𝕂$  eine offene Teilmenge,

$f:U⟶𝕂$

eine $n$-mal differenzierbare Funktion und  $a\in U$.  Dann heißt

$T_{a,n}(f)(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.

Definition:Taylor-Reihe

Es sei  $U\subseteq 𝕂$  eine offene Teilmenge,

$f:U⟶𝕂$

eine $\mathrm{\infty }$-oft differenzierbare Funktion und  $a\in U$.  Dann heißt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.