Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Definitionsliste

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Definition:Durchschnitt

Zu Mengen und heißt

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.



Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen und heißt

die Vereinigung der beiden Mengen.



Definition:Teilmenge

Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist. Diese Beziehung drückt man durch

aus und sagt auch, dass eine Inklusion vorliegt.



Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.



Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.



Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Abbildung

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.



Definition:Konstante Abbildung

Es seien und Mengen und es sei ein Element. Dann heißt die Abbildung

die also jedes Element auf abbildet, die konstante Abbildung zum Wert .



Definition:Identische Abbildung

Es sei eine Menge. Dann heißt die Abbildung

die also jedes Element auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf . Sie wird mit oder bezeichnet.



Definition:Bild unter einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt das Bild von unter . Für heißt

das Bild der Abbildung.



Definition:Urbild unter einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt

das Urbild von .



Definition:Injektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.



Definition:Surjektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.



Definition:Bijektiv

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.



Definition:Umkehrabbildung

Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .



Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .



Definition:Relation

Es seien und Mengen. Eine Relation zwischen den Mengen und ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Graph einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann nennt man

den Graphen der Abbildung .



Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Relationseigenschaften

Es sei eine Menge und eine Relation auf . Man nennt

    • reflexiv, wenn

    gilt für alle .

    • transitiv, wenn für beliebige

    aus und aus stets folgt.

    • symmetrisch, wenn für beliebige

    aus auch folgt.

    • antisymmetrisch, wenn für beliebige

    aus und die Gleichheit folgt.



    Definition:Äquivalenzrelation

    Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

    1. Es ist (reflexiv).
    2. Aus folgt (symmetrisch).
    3. Aus und folgt (transitiv).

    Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.



    Definition:Äquivalenzklasse

    Es sei eine Äquivalenzrelation und . Dann ist

    die Äquivalenzklasse von bezüglich .



    Definition:Quotientenmenge

    Sei eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

    die Quotientenmenge von .



    Definition:Kanonische Projektion

    Es sei eine Äquivalenzrelation und die Quotientenmenge. Die Abbildung

    heißt kanonische Projektion von .



    Definition:Induktives Zählsystem

    Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und einer (Nachfolger-)Abbildung

    heißt Zählsystem (oder induktives Zählsystem), wenn das folgende Induktionsaxiom erfüllt ist:

    Für jede Teilmenge gilt: wenn die beiden Eigenschaften

      • ,
      • mit jedem Element ist auch ,
      gelten, so ist .


      Definition:Dedekind-Peano-Axiome

      Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

      heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

      1. Das Element ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
      2. Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
      3. Für jede Teilmenge gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
          • ,
          • mit jedem Element
          ist auch ,

        gelten, so ist .



        Definition:Gleichmächtigkeit von Mengen

        Zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung

        gibt.


        Definition:Ordnungsrelation

        Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

        1. Es ist für alle .
        2. Aus und folgt stets .
        3. Aus und folgt .


        Definition:Endliche Menge

        Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

        gibt.



        Definition:Verknüpfung

        Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung



        Definition:Kommutative Verknüpfung

        Eine Verknüpfung

        auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

        gilt.



        Definition:Assoziative Verknüpfung

        Eine Verknüpfung

        auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

        gilt.



        Definition:Neutrales Element

        Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

        gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.



        Definition:Inverses Element

        Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

        und einem neutralen Element gegeben. Dann heißt zu einem Element ein Element inverses Element, wenn die Gleichheit

        gilt.



        Definition:Addition mit n

        Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Dann definieren wir die Addition mit [[Kategorie:Addition mit (MSW)|~]] als diejenige aufgrund von Lemma 4.1 eindeutig bestimmte Abbildung

        für die

        gilt.



        Definition:Multiplikation mit n

        Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Dann definieren wir die Multiplikation mit [[Kategorie:Multiplikation mit (MSW)|~]] als diejenige aufgrund von Lemma 4.1 eindeutig bestimmte Abbildung

        für die

        gilt.



        Definition:Fakultät

        Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

        die Fakultät von (sprich Fakultät).



        Definition:Gruppe

        Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

        heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

        1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
        2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
        3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


        Definition:Produktverknüpfung

        Es seien und zwei Mengen, auf denen jeweils eine Verknüpfung festgelegt ist. Dann heißt die auf der Produktmenge

        durch
        definierte Verknüpfung die Produktverknüpfung

        (oder komponentenweise Verknüpfung).



        Definition:Kommutativer Ring

        Ein kommutativer Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

        1. ist eine kommutative Gruppe.
        2. Die Multiplikation ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung und ist das neutrale Element der Multiplikation.
        3. Es gilt das Distributivgesetz, also
          für alle .


        Definition:Körper (ausführlich)

        Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

        und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

        1. Axiome der Addition
          1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
          2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
          3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
          4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
        2. Axiome der Multiplikation
          1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
          2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
          3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
          4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
        3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


        Definition:Binomialkoeffizient

        Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

        den Binomialkoeffizienten über “.



        Definition:Angeordneter Körper

        Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

        1. Aus folgt (für beliebige ),
        2. Aus und folgt (für beliebige ),

        erfüllt.



        Definition:Intervalle

        Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

          das abgeschlossene Intervall.

          das offene Intervall.

          das linksseitig offene Intervall.

          das rechtsseitig offene Intervall.



          Definition:Betrag (angeordneter Körper)

          In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.



          Definition:Archimedisch angeordnet

          Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

          gibt.



          Definition:Gaußklammer

          Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und . Die Gaußklammer von ist durch

          definiert.



          Definition:Tupel

          Es seien und Mengen. Dann nennt man eine Abbildung

          auch ein -Tupel in . Bei spricht man von einem -Tupel in .



          Definition:Mengenfamilie

          Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

          Die Menge heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.


          Definition:Durchschnitt und Vereinigung von Mengenfamilien

          Es sei , , eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge . Dann heißt

          der Durchschnitt der Mengen und

          die Vereinigung der Mengen.



          Definition:Produktmenge (Familie)

          Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge

          die Produktmenge der .



          Definition:Folge

          Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in ist eine Abbildung



          Definition:Konvergenz einer Folge

          Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

          Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

          gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

          Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.



          Definition:Beschränktheits-Eigenschaften

          Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge.

          1. Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn für alle gilt.
          2. Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn für alle gilt.
          3. heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
          4. heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
          5. heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
          6. Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
          7. Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
          8. Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
          9. Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.


          Definition:Wachsende Folge

          Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Dann heißt die Folge wachsend, wenn ist für alle , und streng wachsend, wenn ist für alle . Die Folge heißt fallend, wenn ist für alle und streng fallend, wenn ist für alle .



          Definition:Eulersche Zahl

          Die reelle Zahl

          heißt Eulersche Zahl.



          Definition:Komplexe Zahlen

          Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

          definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

          bezeichnet.



          Definition:Real- und Imaginärteil

          Zu einer komplexen Zahl

          heißt

          der Realteil von und

          heißt der Imaginärteil von .



          Definition:Komplexe Konjugation

          Die Abbildung

          heißt komplexe Konjugation.



          Definition:Betrag einer komplexen Zahl

          Zu einer komplexen Zahl

          ist der Betrag durch

          definiert.



          Definition:Vektorraum

          Es sei ein Körper und eine kommutative Gruppe. Man nennt einen -Vektorraum, wenn eine Abbildung

          erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

          1. ,
          2. ,
          3. ,
          4. .


          Definition:Polynom in einer Variablen

          Es sei ein Körper. Ein Ausdruck der Form

          mit

          heißt Polynom in einer Variablen über .



          Definition:Linearkombination

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

          eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ).



          Definition:Erzeugendensystem

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie , , ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als

          mit einer endlichen Teilfamilie und mit darstellen kann.



          Definition:Untervektorraum

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

          1. .
          2. Mit ist auch .
          3. Mit und ist auch .


          Definition:Aufgespannter Unterraum

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zu einer Familie , , setzt man

          und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.



          Definition:(In)homogene lineare Gleichung

          Es sei ein Körper und . Dann nennt man

          eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen zu den Koeffizienten , . Ein Tupel heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ist.

          Wenn ein weiteres Element ist, so heißt

          eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ist.



          Definition:Lineares Gleichungssystem

          Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man

          ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.

          Wenn beliebig ist, so heißt

          ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.



          Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

          Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.



          Definition:Linear unabhängig

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren , , linear unabhängig, wenn eine Gleichung

          nur bei für alle möglich ist.



          Definition:Basis

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem , , von eine Basis von .



          Definition:Standardvektor

          Es sei ein Körper und . Dann nennt man zu den Vektor

          wobei an der -ten Stelle steht, den -ten Standardvektor. Die Vektoren
          nennt man die Standardbasis des .


          Definition:Dimension

          Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von die Dimension von , geschrieben



          Definition:Lineare Abbildung

          Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

          heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

          1. für alle .
          2. für alle und .


          Definition:Kern

          Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und

          sei eine - lineare Abbildung. Dann nennt man

          den Kern von .



          Definition:Rang einer linearen Abbildung

          Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und

          sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man

          den Rang von .



          Definition:Isomorphismus (Vektorräume)

          Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine bijektive, lineare Abbildung

          heißt Isomorphismus.



          Definition:Isomorphe Vektorräume

          Es sei ein Körper. Zwei - Vektorräume und heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von nach gibt.



          Definition:Homomorphismenraum

          Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Dann nennt man

          den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

          definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

          definiert wird.



          Definition:Matrix

          Es sei ein Körper und und Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung

          Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als



          Definition:Matrizenmultiplikation

          Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

          diejenige -Matrix, deren Einträge durch

          gegeben sind.



          Definition:Einheitsmatrix

          Die - Matrix

          nennt man die Einheitsmatrix.



          Definition:Invertierbare Matrix

          Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

          gibt.



          Definition:Inverse Matrix

          Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

          die inverse Matrix von . Man schreibt dafür



          Definition:Matrix zu linearer Abbildung

          Es sei ein Körper und sei ein - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .

          Zu einer linearen Abbildung

          heißt die - Matrix

          wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist, die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basen.

          Zu einer Matrix heißt die durch

          gemäß Satz 12.3 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.



          Definition:Elementare Zeilenumformungen

          Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

          1. Vertauschung von zwei Zeilen.
          2. Multiplikation einer Zeile mit .
          3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.


          Definition:Elementarmatrizen

          Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige - Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

          1. .
          2. .
          3. .


          Definition:Spaltenrang

          Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben



          Definition:Determinante (rekursive Definition)

          Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch



          Definition:Multilineare Abbildung

          Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

          heißt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel mit die induzierte Abbildung

          - linear ist.



          Definition:Alternierende Abbildung

          Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und sei . Eine multilineare Abbildung

          heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist



          Definition:Determinantenfunktion

          Es sei ein - dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Eine Abbildung

          heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

          1. ist multilinear.
          2. ist alternierend.


          Definition:Transponierte Matrix

          Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die -Matrix

          die transponierte Matrix zu .



          Definition:Determinante eines Endomorphismus

          Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei

          eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man

          die Determinante der linearen Abbildung .



          Definition:Adjungierte Matrix

          Zu einer quadratischen Matrix heißt

          wobei die Streichungsmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix von .



          Definition:Eigenvektor

          Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

          eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element , , ein Eigenvektor von (zum Eigenwert ), wenn

          mit einem gilt.



          Definition:Eigenwert

          Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

          eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

          gibt.



          Definition:Eigenraum

          Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

          eine lineare Abbildung. Zu nennt man

          den Eigenraum von zum Wert .



          Definition:Diagonalisierbare Abbildung

          Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

          eine lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.



          Definition:Polynomring

          Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

          mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

          definiert ist.



          Definition:Grad eines Polynoms

          Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

          mit ist .



          Definition:Charakteristisches Polynom

          Zu einer - Matrix mit Einträgen in einem Körper heißt das Polynom

          das charakteristische Polynom von .



          Definition:Skalarprodukt

          Es sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

          mit folgenden Eigenschaften:

          1. Es ist

            für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

          2. Es ist

            für alle .

          3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.


          Definition:Euklidischer Vektorraum

          Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.



          Definition:Orthogonale Vektoren

          Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Man nennt zwei Vektoren orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

          ist.



          Definition:Orthogonales Komplement

          Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann heißt

          das orthogonale Komplement von .



          Definition:Orthonormalbasis

          Es sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

          gilt.



          Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

          Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

          die Norm von .



          Definition:Abstand (euklidischer Vektorraum)

          Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zu zwei Vektoren nennt man

          den Abstand zwischen und .



          Definition:Metrischer Raum

          Es sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

          1. genau dann, wenn ist (Definitheit),
          2. (Symmetrie), und
          3. (Dreiecksungleichung).

          Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.



          Definition:Offene Kugel

          Es sei ein metrischer Raum, und eine positive reelle Zahl. Es ist

          die offene und

          die abgeschlossene -Kugel um .



          Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

          Es sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt offen (in ), wenn für jedes ein mit

          existiert.



          Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

          Es sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.



          Definition:Beschränkte Teilmenge

          Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl mit

          gibt.



          Definition:Konvergente Folge (metrischer Raum)

          Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

          Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

          gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

          Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.



          Definition:Häufungspunkt

          Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.



          Definition:Teilfolge

          Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

          eine Teilfolge der Folge.



          Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

          Es seien und metrische Räume,

          eine Abbildung und . Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

          gilt. Die Abbildung heißt stetig, wenn sie stetig in für jedes ist.



          Definition:Zusammenhängend

          Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von gibt (nämlich und selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.



          Definition:Kompakt

          Eine Teilmenge heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.



          Definition:Maximum und Minimum

          Es sei eine Menge und

          eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

          und dass das Minimum annimmt, wenn



          Definition:Lokales Maximum und Minimum

          Es sei ein metrischer Raum und

          eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

          gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

          gilt.



          Definition:Gleichmäßig stetig

          Es sei

          eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle mit ist .



          Definition:Berührpunkt

          Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt



          Definition:Abschluss (Teilmenge)

          Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluss von . Er wird mit bezeichnet.



          Definition:Grenzwert einer Abbildung

          Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

          eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man



          Definition:Stetige Fortsetzung

          Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei

          eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und es sei . Dann heißt eine Abbildung

          eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und gilt für alle .



          Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

          Es sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

          heißt Exponentialfunktion zur Basis .



          Definition:Reihe

          Es sei eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

          Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

          und nennt ihn die Summe der Reihe.



          Definition:Absolute Konvergenz einer Reihe

          Eine Reihe

          von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

          konvergiert.



          Definition:Summierbare Familie

          Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

          gilt. Dabei ist . Im summierbaren Fall heißt die Summe der Familie.



          Definition:Cauchy-Familie

          Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung

          gilt. Dabei ist .



          Definition:Cauchy-Produkt

          Zu Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe