Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler

Generelle Fehler

• Viele scheinen nicht verstanden zu haben, was zu zeigen ist, wenn man z.B. eine kommutative Gruppe nachweisen möchte. Es reicht NICHT nur das Kommutativgesetz nachzuweisen. Dann fehlt der Nachweis, dass es sich um eine Gruppe handelt. Um zu zeigen, dass $(\mathbb {Z} ,+,0)$ eine kommuative Gruppe ist, müssen also gezeigt werden, dass $+$ wohldefiniert ist (das versteckt sich dahinter, dass $+$ eine Abbildung sein soll), die Gruppenaxiome (Assoziativgesetz, Existenz des neutralen Elementes und Existenz von inversen Elementen) und das Kommutativgesetz.

• Die Wohldefiniertheit ist wichtig! Um das zu sehen definieren wir eine Subtraktion $-:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, indem wir das Paar $(n,k)$ auf dasjenige $m\in \mathbb {N}$ abbilden, welches $n$ als $k$-ten Nachfolger hat. Das Problem an dieser Definition ist, dass sie dem Peano-Axiom "$0$ ist kein Nachfolger" widerspricht, da $(0,1)$ auf den Vorgänger von $0$ abgebildet würde. Die Abbildung $-$ bildet also gar nicht nach $\mathbb {N}$ ab, sodass es hinfällig wird irgendwelche Gruppenaxiome nachzurechnen.

• Behauptungen aufzustellen reicht nicht aus. Wenn ihr sagt irgendwas hätte bestimmte Eigenschaften (bijektiv, maximal, etc.) so ist diese Aussage zu beweisen!

Zehnte Woche

• Bei Häufungspunkten gibt es kein $n_{0}$, sodass alle nachfolgenden Folgeglieder innerhalb einer gewissen Umgebung liegen! "Unendlich viele" kann z.B. alle geraden oder alle Quadratzahlen bedeuten, aber im Allgemeinen nicht "alle ab einer Grenze".

• Bei der Folge $i^{n}$ ist es verlockend zu sagen, sie hätte nur die vier offensichtlichen Häufungspunkte. Das muss aber noch beweisen werden! Nur, weil man diese vier schnell sieht, heißt es nicht, dass es keine weiteren geben kann!

Achte Woche

• Wenn ihr Gleichungssystem mit Parametern habt (z.B. Aufgabe 16.18), müsst ihr darauf achten, dass die durchgeführten Operationen auch definiert sind. Wenn ihr z.B. mit $a$ oder $1/a$ multipliziert, darf $a$ nicht null sein. Der Fall $a=0$ muss dann nochmal explizit behandelt werden!
• Kein Fehler, aber eine Nachlässigkeit: Bei einer alternierenden Abbildung (daher der Name) gilt: $f(v_{1},...,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},...,v_{n})=-f(v_{1},...,,v_{i-1},v_{i+1},v_{i},v_{i+2},...,v_{n})$

Siebte Woche

• Einheitsmatrix ${}\neq$ Elementarmatrix (eine Einheitsmatrix ist auch eine Elementarmatrix, aber nicht umgekehrt)

Fünfte Woche

• Es gibt auf $\mathbb {C}$ keine Ordnung! Ergo kann man von einer Zahl $c\in \mathbb {C}$ nicht sagen, dass sie positiv oder negativ ist!

Vierte Woche

• Für die Grenzwertrechenregeln (Lemma 7.10) benötigt ihr KONVERGENTE Folgen!

• Unterlasst diese "Schulbegründungen" der Form "das wächst schneller, also hat der Rest keinen Einfluss auf den Grenzwert". Das mag für die Schule genügt haben, jetzt ist es aber zu wenig bzw. falsch.

Dritte Woche

• Ich möchte noch einmal auf den Hinweis von Woche zwei verweisen. Viele fangen einen Beweis für eine Aussage mit der Aussage selber an und formen diese um. Bitte gewöhnt euch das ab. Beweise werden durch diese "Taktik" unübersichtlich und sind viel schwerer nachzuvollziehen. (Und wenn ihr einmal den Äquivalenzpfeil vergesst, gibt das in der Bewertung streng genommen 0 Punkte!)

Zweite Woche

Alle Kommentare beziehen sich auf Aufgabe 4.13.

• Ihr dürft nur die Regeln benutzen, die ihr schon bewiesen habt. Ihr könnt also nicht einfach $kn+km=k(n+m)$ schreiben, wenn ihr das Distributivgesetz noch nicht bewiesen habt.

• Irgendwelche "..."-Aussagen müssen bewiesen werden (meist per Induktion).

• $\underbrace {k+...+k} _{n-{\text{mal}}}$ ist NICHT die Definition von $nk$.

• Wollt ihr zum Beispiel das Kommutativgesetz $nm=mn$ beweisen, so reicht ohne weitere Erläuterung eine Induktion nach $n$ nicht aus. Diese liefert, dass das Kommuativgesetz für ein $n$ und alle $m$ gilt, wobei die Existenz eines solchen $n$ nicht einmal sicher gestellt ist. Ebenso falsch ist es eine Induktion nach $n$ und eine Induktion nach $m$ zu führen. In einer solchen Situation müsst ihr eine Doppelinduktion machen. Das kann man hier allerdings umgehen, da nach dem ersten Aufgabenteil $0m=m0(=0)$ für alle $m$ gilt, so dass ihr als Induktionsvoraussetzung "Es existiert ein $n$ mit $nm=mn$ für alle $m$" nehmen könnt.

• Ein ganz schlechter Beweisstil (und fehleranfällig, gerade bei Ungleichungen) ist es, wenn man zuerst das hinschreibt, was man zeigen will; das umformt, bis man eine wahre Aussage hat und daraus folgert, dass die erste Zeile wahr sein musste. Ein simples Beispiel wäre: $-1>0{\stackrel {\text{quadrieren}}{\Rightarrow }}1>0$ offensichtlich wahr $\Rightarrow -1>0$

Erste Woche

• Ihr müsst besser auf die Objekte achten, die ihr miteinander verknüpft. Eine Aussage kann nicht äquivalent zu einer Menge sein, da es sich um unterschiedliche Objekte handelt. Äquivalenzen und "daraus folgt" sind für Aussagen zu gebrauchen; Mengen oder Abbildungen hingegen können nur gleich oder ungleich sein (Ausnahme: Äquivalenzrelation).

• Wenn ihr die Äquivalenz zweier Aussagen zeigen wollt, ist die Vorgehensweise (im Allgemeinen) die erste Aussage als gegeben anzunehmen und dann auf die zweite zu schließen. Damit ist die Implikation "aus der ersten folgt die zweite Aussage" gezeigt. Dann macht man das noch einmal umgekehrt. Was absolut gar nicht geht ist beide Aussagen anzunehmen und dann irgendwelches blabla von sich zu geben.

• Wenn verlangt wird ein Objekt mit gewissen Eigenschaften anzugeben (z.B. eine Bijektion von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {Z}$), so muss auch gezeigt werden, dass diese Eigenschaften erfüllt sind! Um zu zeigen, dass die angegebene Abbildung bspw. injektiv ist, müsst ihr die Definition von injektiv an dieser konkreten Abbildung nachprüfen. Etwas von der Form "$f$ ist injektiv, weil <Definition abschreiben> gilt" ist also KEIN Beweis.

• "Für den Turm gibt es nur eine Äquivalenzklasse, weil der Turm überall hinkommt." ist auch kein Beweis. Das ist eine Behauptung ("Für den Turm gibt es nur eine Äquivalenzklasse") zusammen mit einer Umformulierung dieser Behauptung ("Der Turm kommt überall hin"). Es steht also nichts anderes da als: Das ist so, weil das eben so ist.

• Der Unterschied zwischen $f$ und $f(x)$ scheint nicht klar zu sein. Letzteres ist KEINE Funktion. Das Symbol $f(x)$ bezeichnet ein Element in der Wertemenge der Abbildung $f$, nämlich dasjenige, welches das Bild des Elementes $x$ ist. Insbesondere kann $f(x)$ NICHT injektiv oder surjektiv sein. Des Weiteren heißt $f(x)=g(x)$ nur, dass die Bilder des Elementes $x$ unter den Abbildungen $f$ und $g$ gleich sind und NICHT, dass die Abbildungen gleich sind. Wollt ihr sagen, dass die Abbildungen gleich sind, schreibt man $f=g$ oder $f(x)=g(x)\forall x$ (aus dem Definitionsbereich).

• Aus einer Gleichung $f\circ g=f\circ h$ lässt sich nicht $g=h$ schließen. Man mache sich das an der Situation klar, wo $f,$ $g,$ $h$ durch $f(x)=x^{2},$ $g(x)=x$ und $h(x)=-x$ gegeben sind.

• Der Ausdruck $\pm (1,2)$ ist eine abkürzende Schreibweise für "$(1,2)$ oder $(-1,-2)$". Insbesondere ist also $(-1,2)$ nicht inbegriffen.

• Es gilt niemals nie nicht $x\in \emptyset$

• Unbeschränkte Intervalle in $\mathbb {R}$ sind immer offen in "Richtung Unendlichkeit": $[-\infty ,0]$ ist falsch. Richtig ist $]-\infty ,0]$ oder $(-\infty ,0]$ Das bedeutet, dass $\pm \infty$ nicht Teil der Menge ist. So, wie $[1,3[$ nicht die $3$ enthält.

• Es gilt keineswegs $x\in M\Rightarrow x\in P(M)$. Es gilt allerdings ${}\{x\}\in P(M)$

• Eine Menge ist nicht bijektiv/injektiv/surjektiv! Dies sind Eigenschaften einer Abbildung.

• $A\subseteq B$ ist keine Menge! Es gilt nicht $A\subseteq B=\{x|x\in A\Rightarrow x\in B\}$ sondern $A\subseteq B\Rightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)$

• Einige scheinen den Unterschied zwischen Menge und Element und die Bedeutung von $=$ nicht verstanden zu haben.

Die Aussage $x\in A\cap B=x\in A\land x\in B$ ist falsch! Richtig wäre es $x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\land x\in B$