Elementarmatrizen/Definition

Elementarmatrizen

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. $V_{ij}:=E_n-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. $S_k(s):=E_n+(s-1)B_{kk}\text{ für }s\ne 0$.
3. $A_{ij}(a):=E_n+a{B}_{ij}\text{ für }i\ne j\text{ und }a\in K$.