Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex

\setcounter{section}{46}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} von \definitionsverweis {endlicher Dimension}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} die gleiche Dimension wie $V$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2y-z^3xe^{xyz} } {,} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {f} {und} {\left(Df\right)_{P}} {} im Punkt $P$ den gleichen \definitionsverweis {Gradienten}{}{} besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum \definitionsverweis {Kern}{}{} von
\mathl{\left(Df\right)_{P}}{} gehört, wenn er \definitionsverweis {orthogonal}{}{} zum \definitionsverweis {Gradienten}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, f ( P )}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-y^2+x } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbeledisp {L} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+3y-4z } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} bezeichnet. } {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ = }{ { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} } }
{ \subset }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ L {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle }
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{ i,j }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} auf $V$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} von $f$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass in der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle } }
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn \mathkor {} {v} {und} {w} {} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^3-xy+ \sin y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} für die Funktion \maabbeledisp {f} {D} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2+xy } {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subset }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das durch die Eckpunkte $(0,0),\, (1,0)$ und $(0,1)$ gegebene \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} \zusatzklammer {volle} {} {} Dreieck ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Anstieg der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-x+y^3 } {,} im Punkt
\mathl{P=(1,1)}{} in Richtung des Winkels
\mathl{\alpha \in [0, 2 \pi]}{.} Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+ \sin \left( y \right)-xz } {.} \aufzaehlungdrei{Bestimme den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} $G$ von $f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (0,0,0) }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarprodukts}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x-y+3z = 0 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ f {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf $E$. Bestimme den Gradienten $\tilde{G}$ von
\mathl{g}{} bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$. }{Zeige, dass $\tilde{G}$ die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $G$ auf $E$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.

}
{} {}