Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
  2. Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
  3. Die Bilinearform ist vom Typ (mit einem .)


Aufgabe

Es sei eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ auf einem -dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei eine Basis von und es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von gleich ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

in jedem Punkt.


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Nullpunkt .


Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .


In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Sei und ein -Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl

einen Polynomialkoeffizienten.


Aufgabe

In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich

ist.


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel

in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich

ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der (geordneten) Partitionen zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich

ist.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Nullpunkt .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

im Punkt .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

in jedem Punkt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.



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