Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler reeller Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
2. Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
3. Die Bilinearform ist vom Typ ${}(p,n-p)$ (mit einem ${}p\in {\{1,\ldots ,n\}}$.)

Aufgabe

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ ${}(n-q,q)$ auf einem ${}n$- dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von ${}\det G$ gleich ${}(-1)^{q}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}3&1\\1&-5\end{pmatrix}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{3}-xy+y^{2},$

in jedem Punkt.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y\cdot \sin x,$

im Nullpunkt ${}(0,0)$.

Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in ${}2$ oder ${}3$ Variablen für die Grade ${}k=1,2,3$.

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ ein ${}n$- Tupel natürlicher Zahlen. Es sei ${}k:=\sum _{j=1}^{n}r_{j}$. Dann nennt man die Zahl

${}{\binom {k}{r}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,$

einen Polynomialkoeffizienten.

Aufgabe

In einem Studium werden ${}11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar ${}3$ Seminarscheine, ${}5$ Klausuren, ${}2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

Aufgabe

Es seien ${}n,k\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit ${}n$. Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\},$

bei denen das Urbild zu ${}j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ aus genau ${}r_{j}$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}k,n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Zeige, dass die Anzahl der ${}n$-Tupel

$(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,k\}^{n},$

in denen die Zahl ${}j$ genau ${}r_{j}$-mal vorkommt, gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ einer ${}n$-elementigen Menge gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

$(a_{1}+\cdots +a_{n})^{k}=\sum _{r=(r_{1},\ldots ,r_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}r_{i}=k}{\binom {k}{r}}a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdots a_{n}^{r_{n}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}2&4&1\\4&-2&3\\1&3&5\end{pmatrix}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto z\cdot \exp(xy),$

im Nullpunkt ${}(0,0,0)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto xy^{3}-x^{2}\ln z,$

im Punkt ${}(0,2,3)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-xy^{2}+x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}f$ ein Polynom in ${}n$ Variablen vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass ${}f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ von ${}f$ im Nullpunkt übereinstimmt.