Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 61/latex

\setcounter{section}{61}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {ganzen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Nehmen wir an, dass auf der Erde \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine \anfuehrung{Umverteilungsvorschrift}{,} die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten für je zwei Teilmengen
\mathl{A,B \subseteq \R}{} die \definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mathdisp {A \sim B} { , }
falls
\mathl{A \triangle B}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist. Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf
\mathl{\mathfrak {P} \, (\R )}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} einer Menge niemals \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir nennen eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} \stichwort {adressierbar} {,} wenn es einen endlichen Text \zusatzklammer {über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht} {} {} gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen \definitionsverweis {abzählbar}{}{?} Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 61.9 anwendet?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {endlichen}{}{} Teilmengen von $M$ abzählbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen mit \definitionsverweis {rationalen Koeffizienten}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mathl{f(\Q) \subseteq \Q}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine Indexmenge und
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {summierbare Familie}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {J = { \left\{ i \in I \mid a_i \neq 0 \right\} }} { }
\definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}