Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/14/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}
}{Die \stichwort {eulersche Zahl} {} $e$.
}{Das
\stichwort {Oberintegral} {}
einer nach oben beschränkten Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Ein \stichwort {Erzeugendensystem} {}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eines $K$-Vektorraumes $V$.
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}\stichwort {Matrix} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Quadratwurzel von $2$.}{Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.}{Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay $4$ Stunden \zusatzklammer {in Paraguay wurde es $4$ Stunden später hell} {} {.} Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von $2$ auf $3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {7X^{11}-3X^8+ { \frac{ 3 }{ 2 } } X^6 -X +5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^5$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in $\R$ eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-4x +2
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[1,2]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {x^u
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{}
die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } }
}
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } }
}
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann. } {Zeige, dass eine ungerade Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{a^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
zur Basis $a$. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x+w)
}
{ = }{ 2 g(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion
\mathl{b^x}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^{x+w}
}
{ =} { 2 b^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1)
}
{ = }{ 2 f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine Exponentialfunktion ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\tan x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Newton-Leibniz-Formel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x &
+5 y &
-3 z &
+ w & = & 0 \\ x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins \zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {} als eine Familie von $9$-Tupeln der Länge $9$. Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} besitzt der durch diese Tupel \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{} des $\R^9$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn die Spalten der Matrix ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $K^m$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} z & 2 & 2z+1 \\ 3 & 1 & 4 \\z & 5 & z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Diagonaleinträge ist \zusatzklammer {es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich $0$ ist} {} {.}
}
{} {}