Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 3 2 4 5 3 2 2 4 6 2 4 4 2 3 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  3. Die eulersche Zahl .
  4. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Ein Erzeugendensystem eines -Vektorraumes .
  6. Eine -Matrix über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Quadratwurzel von .
  2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
  3. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay Stunden (in Paraguay wurde es Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von auf vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Zeige, dass eine ungerade Funktion im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann.
  2. Zeige, dass eine ungerade Funktion im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann.


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt.
  2. Es sei vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion mit und mit

    für alle gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion mit für alle , die keine Exponentialfunktion ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von -Tupeln der Länge . Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ist).