Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	2	4	5	3	2	2	4	6	2	4	4	2	3	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
2. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
3. Die eulersche Zahl ${}e$.
4. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
6. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Quadratwurzel von ${}2$.
2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
3. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay ${}4$ Stunden (in Paraguay wurde es ${}4$ Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von ${}2$ auf ${}3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in ${}\mathbb {R}$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[1,2]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Zeige, dass eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann.
2. Zeige, dass eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
2. Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&+z&\,\,\,\,-w&=&3\\-2x&+5y&-3z&+w&=&0\\x&\,\,\,\,-y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\5x&+2y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$-Tupeln der Länge ${}9$. Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}z&2&2z+1\\3&1&4\\z&5&z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ${}0$ ist).