Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/57/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Der \stichwort {Realteil} {} einer komplexen Zahl $z$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} in $\R$.
}{Die \stichwort {eulersche Zahl} {} $e$.
}{Das
\stichwort {untere Treppenintegral} {}
zu einer unteren Treppenfunktion $s$ zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {Rang} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.}{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper $K$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Karl trinkt eine Flasche Bier \zusatzklammer {$0{,}5$ Liter} {} {} mit einem Alkoholgehalt von $5$ Prozent. $10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat \zusatzklammer {diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert} {} {.} Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 3 } } }{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass für positive natürliche Zahlen
\mathl{a,n,k}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^{(n^k)}
}
{ =} { \underbrace{ { \left( { \left( \ldots { \left( { \left( a^n \right) }^n \right) }^n \ldots \right) }^n \right) }^n }_{ k \text{ Potenzierungen} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)
}
{ =} { a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein reelles Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten
\mathl{a_0 , \ldots , a_n}{} eine Schranke $b$ derart an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zu jeder natürlichen Zahl $k$ sei eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
$y_k$ gegeben, das $n$-te Folgenglied der $k$-ten Folge sei mit $y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge $z_n$, deren $n$-tes Folgenglied durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^n y_{kn}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Cauchy-Kriterium für \definitionsverweis {Reihen}{}{} reeller Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem fest gewählten Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine von $b$ abhängige Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ x_n(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe explizit die Funktionen
\maabbeledisp {x_n} { \R_+} {\R_+
} {b} { x_n(b)
} {,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
} {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(-2,3)$ und den Radius $4$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls
\mathl{[3,7]}{} von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x \ln x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x &
+3 y &
\, \, \, \, - z &
+ w & = & 2 \\ 2 x &
\, \, \, \, - y &
-2 z &
+ w & = & 0 \\ - x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\ x &
+2 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ x^2-5 }{ x+3 } } & { \frac{ x^3-7 }{ 2x } } \\ { \frac{ x^2+1 }{ x^2-4x } } & { \frac{ 3x^2-x }{ x^2-3 } } \end{pmatrix}} { }
über dem Körper $\R(X)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es dann nur endlich viele \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $\varphi$ gibt.
}
{} {}