Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/57/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	2	4	3	4	3	4	4	4	4	4	3	4	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Der Realteil einer komplexen Zahl ${}z$.
3. Eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$.
4. Die eulersche Zahl ${}e$.
5. Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion ${}s$ zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Der Rang einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
2. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
3. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier (${}0{,}5$ Liter) mit einem Alkoholgehalt von ${}5$ Prozent. ${}10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von ${}-{\frac {133}{3}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}a,n,k$ die Beziehung

${}a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,$

und

${}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

ein reelles Polynom mit ${}a_{n}>0$. Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten ${}a_{0},\ldots ,a_{n}$ eine Schranke ${}b$ derart an, dass

${}P(x)>0\,$

für alle ${}x\geq b$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl ${}k$ sei eine Nullfolge ${}y_{k}$ gegeben, das ${}n$-te Folgenglied der ${}k$-ten Folge sei mit ${}y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge ${}z_{n}$, deren ${}n$-tes Folgenglied durch

${}z_{n}=\sum _{k=1}^{n}y_{kn}\,$

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ mit dem fest gewählten Startwert ${}x_{0}=1$ eine von ${}b$ abhängige Folge ${}x_{n}=x_{n}(b)$. Beschreibe explizit die Funktionen

$x_{n}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,b\longmapsto x_{n}(b),$

für ${}n=1,2,3$.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(-2,3)$ und den Radius ${}4$ gegeben ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls ${}[3,7]$ von der ${}x$-Achse und dem Graphen der Funktion

${}f(x)={\frac {1}{x\ln x}}\,$

eingeschlossen wird.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&+3y&\,\,\,\,-z&+w&=&2\\2x&\,\,\,\,-y&-2z&+w&=&0\\-x&+y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\x&+2y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$

erzeugten Untervektorraumes des ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Determinante von

${\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}-5}{x+3}}&{\frac {x^{3}-7}{2x}}\\{\frac {x^{2}+1}{x^{2}-4x}}&{\frac {3x^{2}-x}{x^{2}-3}}\end{pmatrix}}$

über dem Körper ${}\mathbb {R} (X)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ gibt.