Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Eine \stichwort {wachsende} {} reelle Folge.
}{Der \stichwort {Arkuskosinus} {.}
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt $a \in \R$.
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der \stichwort {Satz von Rolle} {.}}{Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung \zusatzklammer {sie wohnt allein} {} {} verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie \zusatzklammer {eine der drei Möglichkeiten} {} {} \aufzaehlungdrei{Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen. } Was ist am schlimmsten?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck
\mathdisp {{ \left( r \rightarrow { \left( p \wedge \neg q \right) } \right) } \rightarrow { \left( \neg p \rightarrow { \left( \neg r \vee q \right) } \right) }} { }
\definitionsverweis {allgemeingültig}{}{}
ist
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (3+1+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
}{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
}{Zeige, dass die Folge gegen $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine stetige Funktion und
\maabbdisp {g} {\N} {\Q
} {}
eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge
\mathl{f(g(n)),\, n \in \N}{,} konvergiert. Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ e^x }{ 1+e^x } } } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die erste Ableitung von $f$. }{Bestimme die zweite Ableitung von $f$. }{Bestimme das Monotonieverhalten von $f$. }{Ist $f$ injektiv? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad $\leq 2$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ \sin \left( x^2 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Der Graph des quadratischen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die $x$-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {} eine lineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (3+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix über einem Körper $K$.
a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.
}
{} {}