Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 3 5 5 4 7 7 4 4 3 4 2 2 7 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Eine wachsende reelle Folge.
  3. Der Arkuskosinus.
  4. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  6. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  2. Der Satz von Rolle.
  3. Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie

  1. Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
  2. Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
  3. Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (7 (3+1+3) Punkte)

Sei eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

().

  1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
  2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder sind.
  3. Zeige, dass die Folge gegen konvergiert ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge , konvergiert. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Betrachte die Abbildung

  1. Bestimme die erste Ableitung von .
  2. Bestimme die zweite Ableitung von .
  3. Bestimme das Monotonieverhalten von .
  4. Ist injektiv?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Der Graph des quadratischen Polynoms

und die -Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Es sei

eine Matrix über einem Körper .

a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.