Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/60/Klausur mit Lösungen/latex
| Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | $\sum$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Punkte | 3 | 3 | 3 | 3 | 6 | 3 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 5 | 5 | 3 | 11 | 3 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 95 |
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit} {} einer
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Nullstellensatz} {.}}{Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere das Konzept der \stichwort {Wohldefiniertheit} {} anhand eines typischen Beispiels.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7
} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {4} {5} {1} }
{\mazeileundzwei {1} {2} }
gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\{1,2,3,4,5,6,7\} } {\{1,2,3,4,5,6,7\}
} {.}
a) Bestimme das Bild von
\mathl{\{1,2,3\}}{} unter $\varphi$.
b) Bestimme das Urbild von
\mathl{\{4,5,6,7\}}{} unter $\varphi$.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^3
}
{ =} { \varphi \circ \varphi \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+1+2)}
{
\aufzaehlungdrei{Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist. }{Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist. }{Zeige, dass durch das Polynom $X^5$ eine bijektive Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(7) } {\Z/(7) } {x} {x^5 } {,} gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Am 26.4.2021 schreibt die Tagesschau \zusatzklammer {tagesschau.de} {} {:} \anfuehrung{In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Menschen mindestens ein Mal geimpft}{.} Im ausführlichen Text heißt es dann \anfuehrung{In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Impfdosen verabreicht worden. Wie das Robert Koch-Institut (RKI) mitteilte, sei die Marke am Wochenende überschritten worden [und] liegt nun bei 25,45 Millionen. Laut aktuellen RKI-Zahlen sind bundesweit bislang knapp 19,5 Millionen Menschen erstgeimpft. Das entspricht einem Bevölkerungsanteil von 23,4 Prozent. Knapp sechs Millionen Menschen sind inzwischen bereits zweimal geimpft, dies entspricht 7,2 Prozent der Bevölkerung}{.} \aufzaehlungdrei{Was fällt auf? }{Wie groß ist die Bevölkerung von Deutschland? }{Wie viel Prozent der Erstgeimpften haben auch eine zweite Impfung erhalten? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+3)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {]0,1[} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ \ln x } } } {.}
a) Skizziere $f$.
b) Bestimme die Ableitung von $f$.
c) Bestimme die zweite Ableitung von $f$.
d) Untersuche $f$ auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass auch ${\max { \left( f , g \right) } }$ Riemann-integrierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {K^m} {K^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v \in K^m}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v)
}
{ = }{- \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+3y
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Urbildes}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \Q \begin{pmatrix} 25 \\11\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq} { \Q^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\Q^4} {\Q^3} {
\begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix}
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (3+3+2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathdisp {c_1 , \ldots , c_n \in K} { }
Elemente, die nicht alle gleich $0$ seien. Wir betrachten die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} {c_i c_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
a) Bestimme den \definitionsverweis {Rang}{}{} der Matrix $M$.
b) Zeige, dass der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ ist und bestimme den zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}
c) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
d) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht diagonalisierbar sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Löse das folgende
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3 x^2+ x+4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $V$ ein
$100$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und seien
\mathl{U,W \subseteq V}{} zwei verschiedene $99$-dimensionale
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
von $V$. Welche Dimension hat
\mathl{U + W}{} und welche Dimension hat
\mathl{U \cap W}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {reell-symmetrische}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass $M$ einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {,}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-3y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass
\mathdisp {- { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3] {19 + 3 \sqrt{33} } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3] {19 - 3 \sqrt{33} }} { }
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+2X^2-2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {,}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x-7y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x-11y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V } {} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}