Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/60/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	6	3	5	6	7	1	2	5	5	3	11	3	2	2	3	4	4	4	4	3	95

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein angeordneter Körper.
2. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.
3. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}a\in \mathbb {R}$.

4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
6. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Ein Körper ${}K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von ${}K$ eine Beziehung ${}>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt (${}a\geq b$ bedeutet ${}a>b$ oder ${}a=b$).
   1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in K$ gilt entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
   2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
   3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
   4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$).
2. Die Konvergenz gegen ${}x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   ${}\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Die Funktion ${}f$ heißt differenzierbar in ${}a$, wenn der Limes

   $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

   existiert.

4. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar auf ${}I$, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.
5. Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   gibt.

6. Den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Nullstellensatz.
2. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.
3. Der Satz über partielle Integration.

Lösung

1. Seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$. Dann gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}a\leq x\leq b$ und mit ${}f(x)=0$.
2. Sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.
3. Es seien

   $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetig differenzierbare Funktionen.

   Dann gilt

   $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$

 

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.

Lösung

Wohldefiniertheit/Typisches Beispiel/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}4$	${}7$	${}4$	${}5$	${}1$	${}1$	${}2$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$

a) Bestimme das Bild von ${}\{1,2,3\}$ unter ${}\varphi$.

b) Bestimme das Urbild von ${}\{4,5,6,7\}$ unter ${}\varphi$.

c) Erstelle eine Wertetabelle für

${}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$

Lösung

a) Das Bild von ${}\{1,2,3\}$ ist ${}\{4,7\}$.

b) Das Urbild von ${}\{4,5,6,7\}$ ist ${}\{1,2,3,4\}$.

c)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}7$	${}1$	${}4$	${}5$	${}5$	${}2$

 

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${}X^{5}$ eine bijektive Abbildung

   $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Lösung

1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form ${}aX+b$ mit

   ${}a\neq 0\,.$

   Für diese ist ${}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ die Umkehrfunktion, da ja wegen

   ${}{\frac {1}{a}}{\left(aX+b\right)}-{\frac {b}{a}}=X+{\frac {b}{a}}-{\frac {b}{a}}=X\,$

   und

   ${}a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b=X-b+b=X\,$

   diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also ${}P$ ein Polynom, das zumindest einen Grad ${}\geq 2$ besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und nicht ${}X$. D.h., dass ${}P$ keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

2. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$

   ist bijektiv nach Fakt *****, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

   ${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
   ${}x^{5}$	${}0$	${}1$	${}4$	${}5$	${}2$	${}3$	${}6$

   also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.

 

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Am 26.4.2021 schreibt die Tagesschau (tagesschau.de): „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Menschen mindestens ein Mal geimpft“. Im ausführlichen Text heißt es dann „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Impfdosen verabreicht worden. Wie das Robert Koch-Institut (RKI) mitteilte, sei die Marke am Wochenende überschritten worden [und] liegt nun bei 25,45 Millionen. Laut aktuellen RKI-Zahlen sind bundesweit bislang knapp 19,5 Millionen Menschen erstgeimpft. Das entspricht einem Bevölkerungsanteil von 23,4 Prozent. Knapp sechs Millionen Menschen sind inzwischen bereits zweimal geimpft, dies entspricht 7,2 Prozent der Bevölkerung“.

1. Was fällt auf?
2. Wie groß ist die Bevölkerung von Deutschland?
3. Wie viel Prozent der Erstgeimpften haben auch eine zweite Impfung erhalten?

Lösung

1. Es liegt ein Widerspruch vor. Einmal sind mehr als 25 Millionen Menschen erstgeimpft, einmal sind es 19,5 Millionen Menschen.
2. Die ${}6000000$ entsprechen ${}7,2\%$, daher ergeben sich ${}100\%$ aus

   ${}0,072x=6000000\,,$

   also

   ${}x={\frac {6000000}{0,072}}\cong 83330000\,.$

   Ebenso ergibt sich

   ${}x={\frac {19500000}{0,234}}\cong 83330000\,.$

3. Der Anteil der Zweitgeimpften zu den Erstgeimpften ist

   ${}{\frac {72}{234}}\cong 0,308\,,$

   das sind etwa ${}30,8\%$.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Lösung

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon ':=\epsilon ^{2}$ gibt es wegen der Nullkonvergenz von ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass

${}\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert \leq \epsilon ^{2}\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ ist. Für diese ${}n$ zeigen wir

${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

durch eine Fallunterscheidung. Wenn

${}x_{n},y_{n}\leq \epsilon \,$

ist, so ist wegen der Positivität direkt ${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq \epsilon$. Es sei also umgekehrt ${}x_{n}\geq \epsilon$ oder ${}y_{n}\geq \epsilon$. Dann ist jedenfalls ${}x_{n}+y_{n}\geq \epsilon$ und somit ${}{\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\leq {\frac {1}{\epsilon }}$. Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert &={\frac {\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert }{x_{n}+y_{n}}}\\&=\vert {x_{n}^{2}-y_{n}^{2}}\vert \cdot {\frac {1}{x_{n}+y_{n}}}\\&\leq \epsilon ^{2}\cdot {\frac {1}{\epsilon }}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\ln x}}.$

a) Skizziere ${}f$.

b) Bestimme die Ableitung von ${}f$.

c) Bestimme die zweite Ableitung von ${}f$.

d) Untersuche ${}f$ auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.

Lösung

a) Skizze.

b) Es ist

${}f'(x)=-{\frac {1}{x{\left(\ln x\right)}^{2}}}\,.$

c) Es ist

${}f^{\prime \prime }(x)={\frac {{\left(\ln x\right)}^{2}+x2{\left(\ln x\right)}{\frac {1}{x}}}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{4}}}={\frac {{\left(\ln x\right)}+2}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{3}}}\,.$

d) Wegen ${}0<x<1$ ist ${}f'(x)<0$ und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von ${}f^{\prime \prime }$ ist stets negativ. Für den Zähler gilt

${}{\left(\ln x\right)}+2=0\,$

genau dann, wenn

${}x=e^{-2}\,.$

Für ${}x<e^{-2}$ ist die zweite Ableitung negativ und für

${}x>e^{-2}$ ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei ${}x=e^{-2}$ ein Wendepunkt vor.

 

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ Riemann-integrierbar ist.

Lösung

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale ${}\leq \epsilon$ ist. Es sei also ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen

$s_{1}{\text{ und }}t_{1}{\text{ mit }}s_{1}\leq f\leq t_{1}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{1}-s_{1})(x)\,dx\leq \epsilon /2$

und

$s_{2}{\text{ und }}t_{2}{\text{ mit }}s_{2}\leq g\leq t_{2}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{2}-s_{2})(x)\,dx\leq \epsilon /2.$

Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei ${}\ell _{k}$, ${}k=1,\ldots ,n$ die Länge des ${}k$-ten Teilintervalls ${}I_{k}$ und es sei

${}\delta _{k}:=(t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\,.$

Dann gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}&=\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}{\left((t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}(t_{1}-s_{1}){|}_{I_{k}}+\sum _{k=1}^{n}\ell _{k}(t_{2}-s_{2}){|}_{I_{k}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Wir setzen

$s:={\max {\left(s_{1},s_{2}\right)}}\,\,{\text{ und }}\,\,t:={\max {\left(t_{1},t_{2}\right)}}.$

Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für ${}{\max {\left(f,g\right)}}$. Wir betrachten ein Teilintervall ${}I_{k}$ der gegebenen Unterteilung. Wenn dort

$s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{1}\leq t_{2}$

gilt, so ist dort

${}t-s=t_{2}-s_{2}\leq \delta _{k}\,.$

Wenn dort

$s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{2}\leq t_{1}$

gilt, so ist dort ebenfalls

${}t-s=t_{1}-s_{2}\leq t_{1}-s_{1}\leq \delta _{k}\,.$

 Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.

Damit ist die Differenz der Treppenintegrale ${}\leq \sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}\leq \epsilon$.

 

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

$\varphi \colon K^{m}\longrightarrow K^{n}$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v\in K^{m}$. Zeige ${}\varphi (-v)=-\varphi (v)$.

Lösung

Es ist

${}\varphi (v)+\varphi (-v)=\varphi (v-v)=\varphi (0)=0\,.$

Daher sind ${}\varphi (v)$ und ${}\varphi (-v)$ zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt

${}\varphi (-v)=-\varphi (v)\,.$

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-7x+3y=-4\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}0\\-{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$ ein Punkt der Geraden, und der Richtungsvektor ist ${}{\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}}$. Somit ist

${\left\{{\begin{pmatrix}0\\-{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

${}T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}25\\11\\1\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$

zur linearen Abbildung

$\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&-1&5&6\\3&5&2&-1\\2&-1&-2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Lösung

Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&\,\,\,\,-y&+5z&+6w&=&25s\\3x&+5y&+2z&\,\,\,\,-w&=&11s\\2x&\,\,\,\,-y&-2z&+3w&=&s\,.\end{matrix}}$

Wir ersetzen die zweite Gleichung durch 3I-2II und die dritte durch I-III und erhalten das äquivalente System

${\begin{matrix}2x&\,\,\,\,-y&+5z&+6w&=&25s\\&-13y&+11z&20w&=&53s\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&+7z&+3w&=&24s\,.\end{matrix}}$

Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus der Dimensionsformel folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von ${}T$ im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst ${}s=0$ und ${}w=1$ und erhalten ${}z=-{\frac {3}{7}}$,

${}y={\frac {1}{13}}{\left(11z+20w\right)}={\frac {1}{13}}{\left(-11\cdot {\frac {3}{7}}+20\right)}={\frac {1}{13}}{\left({\frac {107}{7}}\right)}={\frac {107}{91}}\,$

und ${}x={\frac {1}{2}}{\left(y-5z-6w\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {107}{91}}+5\cdot {\frac {3}{7}}-6\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {107+195-546}{91}}=-{\frac {122}{91}}$.

Wenn wir ${}s=1$ und ${}w=0$ setzen, erhalten wir ${}z={\frac {24}{7}}$,

${}y={\frac {1}{13}}{\left(11z-53s\right)}={\frac {1}{13}}{\left(11\cdot {\frac {24}{7}}-{\frac {371}{7}}\right)}={\frac {1}{13}}{\left(-{\frac {107}{7}}\right)}=-{\frac {107}{91}}\,$

und ${}x={\frac {1}{2}}{\left(y-5z+25s\right)}={\frac {1}{2}}{\left(-{\frac {107}{91}}+5\cdot {\frac {24}{7}}+25\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-107-1560+2275}{91}}={\frac {304}{91}}$.

Eine Basis des Urbildes ist daher gegeben durch die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {122}{91}}\\{\frac {107}{91}}\\-{\frac {3}{7}}\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}{\frac {304}{91}}\\-{\frac {107}{91}}\\{\frac {24}{7}}\\0\end{pmatrix}}$.

 

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Lösung

1. Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

   ${}\varphi (0)=\varphi (0+0)=\varphi (0)+\varphi (0)\,.$

   Addition mit dem negativen Element zu ${}\varphi (0)$, also mit ${}-\varphi (0)$, ergibt

   ${}0=\varphi (0)\,.$

2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Für

   ${}k=1\,$

   ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}v_{i}\right)}&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+s_{k+1}\varphi {\left(v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}.\end{aligned}}$

 

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Lösung

Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (11 (3+3+2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien

$c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$

Elemente, die nicht alle gleich ${}0$ seien. Wir betrachten die ${}n\times n$- Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei die Einträge durch

${}a_{ij}=c_{i}c_{j}\,$

gegeben sind.

a) Bestimme den Rang der Matrix ${}M$.

b) Zeige, dass der Vektor ${}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ ist und bestimme den zugehörigen Eigenwert.

c) Zeige, dass ${}M$ bei ${}K=\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.

d) Zeige, dass ${}M$ bei ${}K={\mathbb {C} }$ nicht diagonalisierbar sein muss.

Lösung

a) Es ist

${}M={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,.$

Daher besitzt die durch ${}M$ gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form

$K^{n}\longrightarrow K\longrightarrow K^{n}.$

Daher ist das Bild von ${}M$ maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens ${}1$. Da nicht alle ${}c_{j}$ gleich ${}0$ sind, ist ${}M$ nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau ${}1$.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}M{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{1}c_{j}c_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{n}c_{j}c_{j}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{1}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{n}\end{pmatrix}}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}\right)}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Da nicht alle ${}c_{j}$ gleich ${}0$ sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}$.

c) Die Matrix ${}M$ besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen ${}(n-1)$-dimensionalen Kern. Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von ${}0$ verschiedenen Eigenwert (da wir in ${}\mathbb {R}$ sind und eine Summe von Quadraten betrachten). Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich ${}n$ und somit liegt nach Fakt ***** eine diagonalisierbare Abbildung vor.

d) Es sei ${}c_{1}=1$ und ${}c_{2}={\mathrm {i} }$. Die in Frage stehende Matrix ist dann

${}M={\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}\,.$

Das charakteristische Polynom davon ist

${}\chi _{M}=(X-1)(X+1)+1=X^{2}\,.$

Daher ist ${}0$ der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

${}{\begin{pmatrix}3&6\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

Das inverse Element zu ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, somit ist in ${}II'=II-2\cdot 5I=II+4I$ die Variable ${}x$ eliminiert. Dies ergibt

${}4y=1\,.$

Somit ist

${}y=2\,$

und aus

${}3x+6y=4\,$

ergibt sich

${}3x=6\,$

und somit

${}x=2\,.$

Die einzige Lösung ist also ${}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die quadratische Gleichung ${}3x^{2}+x+4=0$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Lösung

Die normierte Gleichung ist (Multiplikation mit ${}5$)

${}x^{2}+5x+6=0\,.$

Die p-q-Formel ergibt

${}x_{1,2}={\frac {-5\pm {\sqrt {25-4\cdot 6}}}{2}}=4{\left(2\pm {\sqrt {1}}\right)}\,.$

Somit ist

${}x_{1}=4\cdot 3=5\,$

und

${}x_{2}=4\cdot 1=4\,.$

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}100$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}U,W\subseteq V$ zwei verschiedene ${}99$-dimensionale Untervektorräume von ${}V$. Welche Dimension hat ${}U+W$ und welche Dimension hat ${}U\cap W$?

Lösung

Da die beiden Räume verschieden sind, ist in

${}U\subseteq U+W\subseteq V\,$

die erste Inklusion echt und daher muss ${}U+V$ schon der Gesamtraum sein, also von der Dimension ${}100$. Nach Fakt ***** ist somit

${}\operatorname {dim} _{}\left(U\cap V\right)=\operatorname {dim} _{}\left(U\right)+\operatorname {dim} _{}\left(W\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U+V\right)=99+99-100=98\,.$

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reell-symmetrische ${}2\times 2$- Matrix. Zeige, dass ${}M$ einen Eigenwert besitzt.

Lösung

Die Matrix hat die Form

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\,.$

Das charakteristische Polynom hat daher die Form

${}\chi _{M}=\det {\left(xE_{2}-{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\right)}=(x-a)(x-d)-b^{2}=x^{2}-(a+d)x+ad-b^{2}\,.$

Wir schreiben dies als

${}{\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-b^{2}={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}ad-b^{2}\,.$

Da

${}{\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {d^{2}}{4}}-{\frac {1}{2}}ad+b^{2}={\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+b^{2}\,$

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.

 

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}3x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}4x-3y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Lösung

1. Die Gerade kann man auch als

   ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\left\{t{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

   auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist

   ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}\,.$

   Alle Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$ werden auf Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}$ abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich

   $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}.$

2. Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als ${}(x,y)$ und die Koordinaten den zweiten Raumes als ${}(u,v)$. Aus der Beziehung

   ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

   ergibt sich

   ${}4u-3v=4(2x+5y)-3(3x+4y)=-x+8y\,.$

   Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung

   ${}-x+8y=0\,$

   beschrieben.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum ${}U\subseteq V$.

Lösung

Sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Jede linear unabhängige Familie in ${}U$ ist auch linear unabhängig in ${}V$. Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in ${}U$ nur linear unabhängige Familien der Länge ${}\leq n$ geben. Es sei ${}k\leq n$ derart, dass es in ${}U$ eine linear unabhängige Familie mit ${}k$ Vektoren gibt, aber nicht mit ${}k+1$ Vektoren. Sei ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in ${}U$ und daher wegen Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) eine Basis von ${}U$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass

$-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2$

ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(-2+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}^{3}&=-8+19+3{\sqrt {33}}+19+3{\sqrt {33}}+etc.\\\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}5x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}6x-11y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Lösung

1. Die Gerade kann man auch als

   ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}={\left\{t{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

   auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist

   ${}{\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}76\\80\end{pmatrix}}\,.$

   Alle Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}$ werden auf Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}76\\80\end{pmatrix}}$ abgebildet, somit ist die Bildgerade gekürzt gleich

   $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}19\\20\end{pmatrix}}.$

2. Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als ${}(x,y)$ und die Koordinaten den zweiten Raumes als ${}(u,v)$. Aus der Beziehung

   ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

   ergibt sich

   ${}6u-11v=6(8x+4y)-11(5x+9y)=-7x-75y\,.$

   Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung

   ${}-7x-75y=0\,$

   beschrieben.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Lösung

Seien ${}w_{1},w_{2}\in W$. Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige ${}v_{1},v_{2}\in V$ mit ${}\varphi (v_{1})=w_{1}$ und ${}\varphi (v_{2})=w_{2}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}$

Entsprechend ist (mit ${}s\in K$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}$