Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/7/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 12 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Eine reelle \stichwort {Potenzreihe} {.}
}{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.}{Die \stichwort {Quotientenregel} {} für differenzierbare Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {.}}{Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Squares in a square grid.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Squares in a square grid.svg } {} {David Epstein} {Commons} {gemeinfrei} {}
Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge $5$? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem \anfuehrung{Gitter}{} liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen
\maabb {\varphi} {L} {M
} {}
zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {b} {e} {f} {h} {e} }
{\mazeileunddrei {g} {c} {d} }
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {e} {\,} {d} {e} }
{\mazeileunddrei {a} {b} {a} }
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {f} {d} {e} {h} }
{\mazeileundzwei {b} {a} }
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{a,b,c,d,e,f,g,h\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {3} {7} {1} {4} {6} }
{\mazeileunddrei {8} {5} {2} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {d} {f} {a} {e} }
{\mazeileunddrei {h} {b} {g} }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Finde alle Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c)
}
{ \in }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot b
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b \cdot c
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot c
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine konvergente reelle Folge beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \sum_{k = 1 }^n { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Finde das kleinste $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Finde das kleinste $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq} {2{,}5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Für die Eulersche Zahl $e$ seien die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,71
}
{ \leq} {e
}
{ \leq} {2,72
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bekannt.
\aufzaehlungzwei {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^2$ sagen?
} {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^{-1}$ sagen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die \stichwort {Quotientenregel} {} für differenzierbare Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{(12 (1+3+1+1+1+2+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x^2-x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungsieben{Bestimme die erste und die zweite Ableitung von $f$.
}{Bestimme die lokalen Extrema von $f$.
}{Wie viele reelle Nullstellen hat $f$?
}{Wie viele komplexe Nullstellen hat $f$?
}{Bestimme eine Gleichung für die Tangente durch das lokale Maximum der Funktion.
}{Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen.
}{Die Tangente und der Funktionsgraph beschränken ein endliches Gebiet. Berechne dessen Flächeninhalt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme für die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mid a_{11} \leq a_{22} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den Rang der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}