Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 3 3 4 4 4 2 3 5 5 12 2 4 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  4. Eine reelle Potenzreihe.
  5. Die Matrizenmultiplikation.
  6. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.
  2. Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen
  3. Der Satz über Vektoren in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (3 Punkte)

Squares in a square grid.svg

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen , die das Gleichungssystem

erfüllen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente reelle Folge beschränkt ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen

bekannt.

  1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
  2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.


Aufgabe * (12 (1+3+1+1+1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Wie viele reelle Nullstellen hat ?
  4. Wie viele komplexe Nullstellen hat ?
  5. Bestimme eine Gleichung für die Tangente durch das lokale Maximum der Funktion.
  6. Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen.
  7. Die Tangente und der Funktionsgraph beschränken ein endliches Gebiet. Berechne dessen Flächeninhalt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rang der Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu