Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 9 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {Körper} {.}
}{Der \stichwort {Tangens hyperbolicus} {.}
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Die \stichwort {Regel von l'Hospital} {.}}{Der \stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +(x+1)^2 }
{ \geq} { (x+2)^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Im Wald lebt ein Riese, der $8$ Meter und $37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von $3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt $4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind $1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander \zusatzklammer {auf den Schultern} {} {} stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=6X^3+X+1} {und} {T=3X^2+2X-4} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne die Summe
\mathdisp {\sum_{n= 3}^ \infty { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme direkt
\zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den folgenden
\definitionsverweis {Funktionslimes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ \sin \left( x-1 \right) }{ \ln x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2-4x+5 }{ x-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $\leq 2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (1+1+2+5)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { 2x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Bestimme die Nullstellen von $f$.
}{Bestimme das globale Minimum von $f$.
}{Finde mit einer Genauigkeit von ${ \frac{ 1 }{ 8 } }$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Graphen zu $f$ und zu $g$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige
\zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx
}
{ =} { e-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Das Produkt
\mathl{A \cdot B}{} ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel \anfuehrung{Zeile x Spalte}{,} bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen
\zusatzklammer {aber mit mehr Additionen} {} {}
durchführen kann. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_1
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_2
}
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_3
}
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_4
}
{ =} { a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_5
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_6
}
{ =} { { \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_7
}
{ =} { { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AB
}
{ =} {C
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{11}
}
{ =} { m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{12}
}
{ =} { m_{3} + m_{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{21}
}
{ =} { m_{2} + m_{4}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{22}
}
{ =} { m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ und es sei $w_1 , \ldots , w_n$ eine Familie von Vektoren in $W$.
a) Zeige, dass es maximal eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$
geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
}{Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
}{Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.
}
}
{} {}