Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 1 2 5 3 3 3 3 4 2 3 9 5 4 3 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Ein Körper.
  3. Der Tangens hyperbolicus.
  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  6. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Die Regel von l'Hospital.
  3. Der Determinantenmultiplikationssatz.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f w
f w f
f f f


Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Aufgabe * (2 Punkte)

Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Summe


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den folgenden Funktionslimes


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

im Punkt bis zum Grad .


Aufgabe * (9 (1+1+2+5) Punkte)

Es sei

und

  1. Bestimme die Nullstellen von .
  2. Bestimme das globale Minimum von .
  3. Finde mit einer Genauigkeit von ein mit
  4. Die Graphen zu und zu begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien -Matrizen und gegeben. Das Produkt ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt Multiplikationen im Körper ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

die Gleichungen

gelten.


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reelle Nullstellen hat.