Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 6/latex

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\setcounter{section}{6}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {der Länge $n$} {} {} als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor \zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {} als Spaltenvektor aufgefasst wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 1- \frac{1}{2} { \mathrm i} & 4 { \mathrm i} \\ -5+7 { \mathrm i} & \sqrt{2} + { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5+4 { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} \\ \sqrt{2}- { \mathrm i} & e + \pi { \mathrm i} \\ 1 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\2-3 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

}
{} {}

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} \definitionsverweis {assoziativ}{}{} ist.

Genauer: Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,} $B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mathl{(A B)C=A(BC)}{} ist.

}
{} {}

Zu einer Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung \zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {} mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix}} { }
die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {V\times W} { }
ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I }
{ =} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien $U,W \subseteq V$ \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn \mathkor {} {U \subseteq W} {oder} {W \subseteq U} {} gilt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3-2 { \mathrm i} & 1+5 { \mathrm i} & 0 \\ 7 { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} & 4- { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-2 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 2+3 { \mathrm i} \\ 5-7 { \mathrm i} & 2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die vierte \definitionsverweis {Potenz}{}{} von $M$ gleich $0$ ist, also
\mathdisp {M^4=MMMM =0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei \mathlk{s \in K}{} und \mathlk{v \in V}{}). \aufzaehlungvier{Es ist $0v=0$. }{Es ist $s 0=0$. }{Es ist $(-1) v= -v$. }{Aus
\mathl{s \neq 0}{} und
\mathl{v \neq 0}{} folgt
\mathl{s v \neq 0}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

}
{} {}



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