- Aufwärmaufgaben
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es sei
, ,
eine Familie von Vektoren in und
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
-
ein
Erzeugendensystem
von ist und dass sich als
Linearkombination
der
, ,
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
, ,
ein Erzeugendensystem von ist.
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
- Sei
, ,
eine Familie von
Untervektorräumen
von . Dann ist auch der Durchschnitt
-
ein Untervektorraum.
- Zu einer Familie
, ,
von Elementen in ist der
erzeugte Unterraum
ein Unterraum.
- Die Familie
, ,
ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn
-
ist.
Zeige, dass die drei Vektoren
-
im
linear unabhängig sind.
Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen
linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
, , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie
linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie
, , linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
- Zwei Vektoren
und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.
Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei
, , eine Familie von Vektoren in . Es sei
, , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie
, , genau dann
linear unabhängig
(ein
Erzeugendensystem von , eine
Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.
Bestimme eine
Basis
für den
Lösungsraum
der linearen Gleichung
-
Bestimme eine
Basis für den
Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
Zeige, dass im die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Es sei ein
Körper. Man finde ein
lineares Gleichungssystem
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
-
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
Bestimme, ob im die drei Vektoren
-
eine
Basis
bilden.
Bestimme, ob im die beiden Vektoren
-
eine
Basis
bilden.