Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 9/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} sei eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass für beliebige Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} und Koeffizienten
\mathl{s_1 , \ldots , s_n \in K}{} die Beziehung
\mathdisp {\varphi { \left(\sum_{i = 1}^n s_i v_i\right) } = \sum_{i=1}^n s_i \varphi { \left(v_i\right) }} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass zu $a \in K$ die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V} {V } {v} { a v } {,} \definitionsverweis {linear}{}{} ist\zusatzfussnote {Eine solche Abbildung heißt \stichwort {Homothetie} {} oder \stichwort {Streckung} {} mit dem Streckungsfaktor $a$} {.} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von $\R$ nach $\R$. Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt? \aufzaehlungacht{Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit. }{Masse ist Volumen mal Dichte. }{Energie ist Masse mal Brennwert. }{Kraft ist Masse mal Beschleunigung. }{Energie ist Kraft mal Weg. }{Energie ist Leistung mal Zeit. }{Spannung ist Widerstand mal Stromstärke. }{Ladung ist Stromstärke mal Zeit. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, so dass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen? \aufzaehlungacht{Eine Amöbe. }{Eine Ameise. }{Eine Meise. }{Eine Flunder. }{Eine Boa constrictor. }{Ein Meerschweinchen. }{Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat. }{Ein sehr guter Limbotänzer. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^2} {\R } {} mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix} = 5 \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} = 4} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 7 \\6 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ergänze den Beweis zu Satz 9.5 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W } {} eine lineare Abbildung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass für die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {K^n} {V } {(s_1 , \ldots , s_n) } { \sum_{i = 1}^n s_i v_i } {,} die folgenden Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist \definitionsverweis {injektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}{$\varphi$ ist \definitionsverweis {surjektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist. }{$\varphi$ ist \definitionsverweis {bijektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} ist.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } {,} und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } {,} $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} sind. Zeige ferner, dass die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} $\R$-linear, aber nicht ${\mathbb C}$-linear ist. Ist der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} {\betrag { z } } {,} $\R$-linear?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} sei eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten. \aufzaehlungvier{Für einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{S \subseteq V}{} ist auch das \definitionsverweis {Bild}{}{} $\varphi(S)$ ein Untervektorraum von $W$. }{Insbesondere ist das Bild $\operatorname{bild} \varphi= \varphi(V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von $W$. }{Für einen Unterraum
\mathl{T \subseteq W}{} ist das \definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} ein Untervektorraum von $V$. }{Insbesondere ist
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untervektorraum von $V$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} die eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} $q\in \Q$ auf $q$ schickt und die alle \definitionsverweis {irrationalen Zahlen}{}{} auf $0$ schickt. Ist dies eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{?} Ist sie mit \definitionsverweis {Skalierung}{}{} verträglich?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {} mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\7 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 0 \\4\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\0 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 6 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^4} {\R^4 } {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 7 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{E \subset \R^3}{} die durch die lineare Gleichung
\mathl{5x+7y-4z=0}{} gegebene Ebene. Bestimme eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ gleich $E$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Auf dem reellen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $G=\R^4$ der Glühweine betrachten wir die beiden \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\pi} {G} {\R } { \begin{pmatrix} z \\n\\ r\\s \end{pmatrix}} {8z+9n+5r+s } {,} und \maabbeledisp {\kappa} {G} {\R } { \begin{pmatrix} z \\n\\ r\\s \end{pmatrix}} {2z+n+4r+8s } {.} Wir stellen uns $\pi$ als Preisfunktion und $\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme \definitionsverweis {Basen}{}{} für
\mathl{\operatorname{kern} \pi}{,} für
\mathl{\operatorname{kern} \kappa}{} und für
\mathl{\operatorname{kern} (\pi \times \kappa)}{}\zusatzfussnote {Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn} {.} {.}

}
{} {}




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