Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Die Telefonanbieter ${}A,B$ und ${}C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr ${}j$ durch das Kundentupel ${}K_{j}=(a_{j},b_{j},c_{j})$ ausgedrückt wird (dabei steht ${}a_{j}$ für die Anzahl der Kunden von ${}A$ im Jahr ${}j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

1. Die Kunden von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$ und wechseln zu je ${}10\%$ zu ${}B$ bzw. zu ${}C$.
2. Die Kunden von ${}B$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}B$ und wechseln zu ${}10\%$ zu ${}A$ und zu ${}20\%$ zu ${}C$.
3. Die Kunden von ${}C$ bleiben zu ${}50\%$ bei ${}C$ und wechseln zu ${}20\%$ zu ${}A$ und zu ${}30\%$ zu ${}B$.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel ${}K_{j+1}$ aus ${}K_{j}$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(12000,10000,8000)$ innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel ${}(10000,0,0)$ in vier Jahren?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}2&7\\-4&9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\6&-1&-2\\0&3&7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\\5-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}U\subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung ${}2x+3y+4z=0$ definierte Untervektorraum von ${}K^{3}$, und ${}\psi$ sei die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$. Zu ${}U$ gehören Vektoren der Form

$u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).$

Berechne ${}a,b,c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v$

von ${}U$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${}\psi$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${}K^{2}$).

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr ${}j$ wird daher durch ein ${}5$-Tupel

${}B_{j}=\left(b_{1,j},\,b_{2,j},\,b_{3,j},\,b_{4,j},\,b_{5,j}\right)\,$

angegeben.

Von den Traglingen erreichen ${}7/8$-tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen ${}9/10$-tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen ${}5/6$-tel das reife Alter und von den Reifen erreichen ${}2/3$-tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und ${}10$ Halbstarke zeugen ${}5$ Nachkommen und ${}10$ Reife zeugen ${}8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand ${}B_{j+1}$ aus dem Bestand ${}B_{j}$ berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand ${}\left(200,\,150,\,100,\,100,\,50\right)$ im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand ${}\left(0,\,0,\,100,\,0,\,0\right)$ in fünf Jahren?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und es sei

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen ${}z_{1}$ und ${}z_{2}$ mit den beiden reellen Matrizen ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ die Produktmatrix ${}M_{2}\circ M_{1}$ die beschreibende Matrix zu ${}z_{1}z_{2}$ ist.

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