Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/14/Lineare Approximation/Studentenfrage/Antwort
Sei eine Funktion fixiert und im Definitionsbereich. Die Gleichung bedeutet, dass sich darstellen lässt als die Summe eines konstanten Wertes , einer linearen Funktion , und einer in stetigen Fehlerfunktion . Dabei ist vorausgesetzt. Der Wert ist die Steigung der linearen Funktion und gleichzeitig der Differentialquotient (oder Ableitung) von in a.
Der Clou dabei ist, dass wenn wir schreiben, sowohl als auch ist (das lässt sich mit der Produktregel aus Lemma 14.7 schnell verifizieren (wenn und damit auch differenzierbar ist)). Deshalb ist sämtliches Verhalten von bezüglich der ersten Ableitung in durch gegeben. Deshalb ergibt die Aussage des Satzes sinn, dass sich und eine stetige Funktion mit so dass sie die Gleichung erfüllen genau dann finden lassen, wenn differenzierbar in ist.
