Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

1. Die Summe ${}f+g$ ist differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ ist differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

3. Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist auch ${}cf$ in ${}a$ differenzierbar mit

   ${}(cf)'(a)=cf'(a)\,.$

4. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}a$ besitzt, so ist ${}1/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}{\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)={\frac {-g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

5. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}a$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen