Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/9/Cauchykriterium und Cauchyfolgen/Studentenfrage/Antwort

Das Cauchykriterium ist einfach eine äquivalente Charakterisierung der Konvergenz von Reihen. Das Cauchykriterium ist, dass für jede Genauigkeit ${}\epsilon >0$ es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt ab dem relativ beliebige Summen aus den folgenden Elementen durch ${}\epsilon$ beschränkt bleiben.

Das Cauchykriterium hat mit Cauchyfolgen direkt nichts zu tun trotz des Namens und des Ähnlichen Aussehens. Cauchyfolgen sind Folgen bei denen zu einer beliebigen Genauigkeit ${}\epsilon >0$ es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt ab dem die Differenz zwischen zwei beliebigen Elementen durch ${}\epsilon$ beschränkt ist.

Das Cauchykriterium macht die Konvergenz einer Reihe manchmal handhabbarer als der direkte Umgang mit Partialsummen, deshalb wird das gerne in Beweisen verwendet. Der Grenzwert der Reihe lässt sich mit dem Cauchykriterium aber nicht finden.

Ein Beispiel dafür wie das Cauchykriterium in Beweisen angewendet wird liefert der Beweis zu Satz 9.9. Da es nicht um den konkreten Grenzwert geht ist das Cauchykriterium hier das Mittel der Wahl.

Im Beweis von Satz 9.13 verwenden wir das Cauchykriterium hingegen nicht, da wir hier den genauen Grenzwert berechnen wollen.

Zur beantworteten Studentenfrage