Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden, außer bei Aufgabe 48.12 bis Aufgabe 48.15 und bei Aufgabe 48.20.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} im Punkt $-3$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{?} Was ist das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in diesem Punkt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { \R^2} {\R
} {(x,y)} { {\min { \left( x , y \right) } }
} {.}
\aufzaehlungvier{Skizziere die Funktion.
}{Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}{Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede Richung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
}{Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion $f$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { \R^n } { \R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ im Nullpunkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { \R^n } { \R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Es seien
\maabb {L_1} {V} {W_1
} {}
und
\maabb {L_2} { V} {W_2
} {}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2
} {v} {(L_1(v),L_2(v))
} {,}
${\mathbb R}$-linear ist.
} {Es seien
\maabb {f_1} { V} {W_1
} {}
und
\maabb {f_2} {V } { W_2
} {}
im Punkt
\mathl{P \in V}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2
} {Q} {(f_1(Q),f_2(Q))
} {,}
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.
Eine \definitionswort {Äquivalenzrelation}{} auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{M \times M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x,y,z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {reflexiv}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {symmetrisch}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {transitiv}{}} {} {.}
}
Dabei bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass das Paar
\mathl{(x,y)}{} zu $R$ gehört.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge. Weiter seien
\maabb {f,g} {G } {W
} {}
Abbildungen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir nennen
\mathl{f,g}{} im Punkt $P$ \stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, { \frac{ (f-g)(P+v) }{ \Vert {v} \Vert } }} { }
existiert und gleich $0$ ist.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Abbildungsmenge von $G$ nach $W$ gegeben ist.
}{Es sei $f$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}
Zeige, dass $f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
}{Es seien
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall $f$ genau dann in $P$ total differenzierbar ist, wenn dies für $g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt $P$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { \R \times V} { V
} {(s,v)} {sv
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (s,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} (t,w)
}
{ =} {tv+ sw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ x^3 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
a) Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu $f$ im Nullpunkt in jede Richtung die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} existiert.
d) Zeige, dass $f$ im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^2 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y)} {\left( xy-2y^3+5 , \, x^3-xy^2+y \right) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,2)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(4,-3)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^3 } { {\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} {( xy-zy+2z^2, \sin (x^2yz)) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,-1,\pi)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(2,0,5)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {\det} {\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb R}) } { {\mathbb R}
} {M} { \det M
} {,}
für
\mathl{n=2,3}{} an der
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\mathdisp {(x,y) \mapsto \varphi (x,y)= x^y} { . }
\aufzaehlungdrei{Was ist der Definitionsbereich $G \subseteq \R^2$ dieser Abbildung?
}{Berechne die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
von $\varphi$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{.}
}{Ist die Funktion
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{?}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Untersuche die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = \begin{cases} { \frac{ xy }{ \sqrt{x^2+y^2} } } \text{ bei } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ bei } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} } {} auf \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} und \definitionsverweis {totale Differenzierbarkeit}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine Abbildung und
\maabb {L} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{ $\varphi$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in $P$ mit dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
$L$.
}{
Der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}{Der Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{ \Vert {\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)} \Vert}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
in einer Variablen. Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n} { {\mathbb R}^n
} {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n))
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x \betrag { y } } {,} für jeden Punkt $P$ und jede Richtung $v$, ob die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in $P$ in Richtung $v$ existiert und ob die Funktion in $P$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb R}^2 } { {\mathbb R}^3 } {(x,y)} {( x+y^2,xy, \exp x) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(3,2)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(-1,-7)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}