Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 48

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Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden, außer bei Aufgabe 48.12 bis Aufgabe 48.15 und bei Aufgabe 48.20.

Aufgabe

Sei eine total differenzierbare Abbildung mit für alle . Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe

Ist die Funktion

im Punkt total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?


Aufgabe

Berechne für die Addition

und für die Multiplikation

das totale Differential.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

  1. Skizziere die Funktion.
  2. Zeige, dass stetig ist.
  3. Bestimme für jeden Punkt und jede Richung , ob die Richtungsableitung in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
  4. Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion total differenzierbar ist.


Aufgabe

Sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass im Nullpunkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass in jedem Punkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.


Aufgabe

Seien , und endlichdimensionale -Vektorräume.

  1. Seien und -lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    -linear ist.

  2. Seien und im Punkt differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential


Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

  1. Es ist (reflexiv).
  2. Aus folgt (symmetrisch).
  3. Aus und folgt (transitiv).

Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.


Aufgabe

Seien endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Weiter seien Abbildungen und . Wir nennen im Punkt tangential äquivalent, wenn der Limes

existiert und gleich ist.

  1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von nach gegeben ist.
  2. Es sei total differenzierbar. Zeige, dass zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
  3. Es seien und tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall genau dann in total differenzierbar ist, wenn dies für gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

in jedem Punkt total differenzierbar ist mit


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante

für an der Einheitsmatrix.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

  1. Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
  2. Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  3. Ist die Funktion total differenzierbar?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Menge, eine Abbildung und eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist differenzierbar in mit dem totalen Differential .
  2. Der Limes

    existiert und ist gleich .

  3. Der Limes

    existiert und ist gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die Funktion

für jeden Punkt und jede Richtung , ob die Richtungsableitung in in Richtung existiert und ob die Funktion in total differenzierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.



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