Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden, außer bei Aufgabe 48.12 bis Aufgabe 48.15 und bei Aufgabe 48.20.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine total differenzierbare Abbildung mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$ für alle ${}P\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

Kommentar:

Wir wollen beweisen, dass die Funktion ${}\varphi$ auf ${}V$ konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt ${}P\in V$ eine kleine Umgebung ${}U_{P}\subset V$ zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in ${}P$ mit dem eines beliebig Punktes ${}Q\in U_{P}$ übereinstimmt. ${}Q$ lässt sich schreiben als ${}P+v$ für ein ${}v\in V$. Da ${}\varphi$ überall total differenzierbar ist, mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$, folgt mit Proposition 48.9, dass ${}\varphi$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist mit Richtungsableitung ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0$. Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen ${}P$ und ${}Q=P+v$ machen. Betrachten wir nun ${}\varphi$ nur auf diesem Verbindungsstück, erhalten wir die differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow W,\,t\longmapsto \varphi (P+tv),$

deren Ableitung konstant Null ist. Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe Lemma 37.5. Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes, Satz 15.5 die Gleichheit der Komponenten von ${}\varphi$ an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.

 

Aufgabe

Ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

im Punkt ${}-3$ total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?

Aufgabe

Berechne für die Addition

$+\colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und für die Multiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

das totale Differential.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\min {\left(x,y\right)}}.$

1. Skizziere die Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
3. Bestimme für jeden Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und jede Richung ${}v\in \mathbb {R} ^{2}$, ob die Richtungsableitung in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
4. Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion ${}f$ total differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${}0$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbar mit dem Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle ${}a\in {\mathbb {R} }$ die Beziehung

${}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Kommentar:

Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat ${}f$ die Form

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei nur endlich viele der ${}\nu$ ungleich Null sind. Nach Korollar 48.12 sind diese total differenzierbar und nach Bemerkung 48.9 stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein.

Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei ${}f(x,y)=xy+x+y+1$. Die Jacobi-Matrix ist dann durch ${}(y+1,x+1)$ gegeben und ist insbesondere im Punkt ${}(0,0)$ gleich ${}(1,1)$. Wegen der Definition der Differenzierbarkeit lässt sich ${}f(v)$, mit ${}v=(v_{1},v_{2})$ aus einer Umgebung von ${}(0,0)$, schreiben als

$f(v_{1},v_{2})=f(0,0)+(1,1)\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+\lVert v\rVert r(v).$

Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir

$v_{1}v_{2}+v_{1}+v_{2}+1=1+v_{1}+v_{2}+\lVert v\rVert r(v).$

Falls ${}v\neq 0$ ist liefert Auflösen nach ${}r$

$r(v)={\frac {v_{1}v_{2}}{\lVert v\rVert }}.$

Dass diese Funktion in ${}0$ stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da ${}f$ total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion ${}r$ die Terme des Polynoms mit Grad größer als ${}1$ beinhaltet und zusätzlich durch ${}\lVert v\rVert$ dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms (Terme vom Grad kleiner oder gleich ${}1$) werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt.

Für ein allgemeines Polynom folgt das Ganze auf gleicher Art und Weise.

 

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt total differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe

Es seien ${}V$, ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume.

1. Es seien ${}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${}{\mathbb {R} }$- lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$

   ${}{\mathbb {R} }$-linear ist.

2. Es seien ${}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt ${}P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$

Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$, dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und ${}P\in G$. Wir nennen ${}f,g$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$

existiert und gleich ${}0$ ist.

1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von ${}G$ nach ${}W$ gegeben ist.
2. Es sei ${}f$ total differenzierbar. Zeige, dass ${}f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall ${}f$ genau dann in ${}P$ total differenzierbar ist, wenn dies für ${}g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt ${}P$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

$\varphi \colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

in jedem Punkt ${}P=(s,v)$ total differenzierbar ist mit

${}\left(D\varphi \right)_{P}(t,w)=tv+sw\,.$

Kommentar:

Wir können in ${}V$ eine Basis festlegen und in dem zugehörigen Koordinatenraum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt arbeiten. Wir betrachten also die Skalarmultiplikation in der Form

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(s,v_{1},\dotsc ,v_{n})\longmapsto (sv_{1},\dotsc ,sv_{n}).$

Wir zeigen die Differenzierbarkeit über die Definition. Damit es einfacher aufzuschreiben ist, fassen wir wieder die 2. bis letzte Koordinate in einem Vektor zusammen. Für die Differenzierbarkeit im Punkt ${}P=(s,v)$ müssen wir die lineare Approximierbarkeit zeigen. Das heißt wir müssen zeigen, dass für ${}(t,w)$ aus einer kleinen Umgebung von ${}P$ eine lineare Abbildung ${}(D\varphi )_{P}(t,w)$ und eine in Null stetige Abbildung ${}r(t,v)$ mit ${}r(0)=0$ existieren, sodass

$\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w)$

gilt. Dazu schauen wir uns einfach einmal ${}\varphi (s+t,v+w)$ genauer an. Wir erhalten nach Einsetzen der Funktionsvorschrift

$\varphi (P+(t,w))=\varphi (s+t,v+w)=(s+t)(v+w)=sv+sw+tv+tw,$

dabei werden rechts skalarmultiplizierte Vektoren aufaddiert. Jetzt sammeln wir die entsprechenden Ausdrücke. Der erste Summand kann direkt als Funktionswert in ${}P$ identifiziert werden, also ${}sv=\varphi (P)$. Des Weiteren ist schon in der Aufgabenstellung suggeriert, dass ${}(D\varphi )_{P}(t,w)=sw+tv$ sein wird. Es muss noch gezeigt werden, dass dies eine lineare Funktion ist. Die Funktion ${}r$ müssen wir dann in dem Term ${}tw$ finden. Da ${}\lVert (t,w)\rVert$ noch ins Spiel kommen muss, erweitern wir mit dieser Norm und erhalten ${}r(t,w)={\frac {tw}{\lVert (t,w)\rVert }}$, falls ${}(t,w)\neq 0$ ist. Nun ist zu zeigen, dass dieses ${}r$ gegen Null geht für ${}(t,w)$ gegen Null, denn dann kann es dort mit Null stetig fortgesetzt werden und hat die gewünschten Eigenschaften.

Dazu nutzen wir, dass ${}r$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gegen Null geht, wenn ${}\lVert r\rVert ^{2}$ gegen Null geht. Dieses geht wiederum gegen Null, weil

$\lVert r(t,w)\rVert ^{2}={\frac {\lVert tw\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {\lVert w\rVert ^{2}}{\lVert (t,w)\rVert ^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{t^{2}+w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}\leq \vert {t}\vert ^{2}{\frac {w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}{w_{1}^{2}+\dotsb +w_{n}^{2}}}=\vert {t}\vert ^{2}.$

Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass in einer Umgebung von ${}P$

$\varphi (s+t,v+w)=\varphi (s,v)+(D\varphi )_{P}(t,w)+\lVert (t,w)\rVert r(t,w),$

wobei ${}(D\varphi )_{P}(t,w)$ und ${}r$ die nötigen Eigenschaften besitzen. Da der Punkt ${}P$ bei obiger Betrachtung beliebig war, ist die Skalarmultiplikation ${}\varphi$ insgesamt differenzierbar. Es ist zu sehen, dass der Beweis der Differenzierbarkeit mit Hilfe der Definition recht mühsam sein kann. Das Benutzen von Satz 48.11 ist in der Regel zu bevorzugen.

 

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y):={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}\,$

a) Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(4,-3)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,-1,\pi )$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(2,0,5)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

Bestimme das totale Differential der Determinante

$\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {R} })\longrightarrow {\mathbb {R} },\,M\longmapsto \det M,$

für ${}n=2,3$ an der Einheitsmatrix.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$(x,y)\mapsto \varphi (x,y)=x^{y}.$

1. Was ist der Definitionsbereich ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ dieser Abbildung?
2. Berechne die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}P\in G$.
3. Ist die Funktion total differenzierbar?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\text{ bei }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ bei }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}\mathbb {R}$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist differenzierbar in ${}P$ mit dem totalen Differential ${}L$.
2. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

3. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\vert {y}\vert ,$

für jeden Punkt ${}P$ und jede Richtung ${}v$, ob die Richtungsableitung in ${}P$ in Richtung ${}v$ existiert und ob die Funktion in ${}P$ total differenzierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(3,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(-1,-7)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.