Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Definitionsabfrage
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Dann nennt man
die
(gewöhnliche)
Differentialgleichung zu
(oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld
).
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Funktion
auf einem
(mehrpunktigen)
Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Die Funktion
ist differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem
zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man eine
Funktion
auf einem
Intervall
eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine
Lösung der Differentialgleichung
ist und wenn zusätzlich
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von
abhängt, wenn also
mit einer Funktion
in der einen Variablen
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von
abhängt, wenn also
mit einer Funktion
in der einen Variablen
gilt.
Eine Differentialgleichung der Form
mit einer
Funktion
( reelles Intervall)
heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei auf einem
Intervall
definierten
Funktionen
und
heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei
Funktionen
(dabei sind
und
reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Es sei ein
reeller Vektorraum.
Ein Skalarprodukt auf
ist eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften:
- Es ist
für alle
,
und ebenso in der zweiten Komponente.
-
- Es ist
für alle
.
-
- Es ist
für alle
und
genau dann, wenn
ist.
Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Dann nennt man zu einem Vektor
die reelle Zahl
die Norm von .
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Zu zwei Vektoren
nennt man
den Abstand zwischen
und
.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Man nennt zwei Vektoren
orthogonal zueinander
(oder senkrecht),
wenn
ist.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
ein
Untervektorraum.
Dann heißt
das orthogonale Komplement von .
Es sei ein
euklidischer Vektorraum.
Eine
Basis
von
heißt Orthonormalbasis, wenn
gilt.
Es sei ein
Körper
und sei
ein
-
Vektorraum.
Eine
lineare Abbildung
heißt eine Linearform auf .
Es sei eine Menge. Eine Abbildung
heißt Metrik
(oder Distanzfunktion),
wenn für alle
die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
genau dann, wenn
ist (Definitheit),
(Symmetrie), und
(Dreiecksungleichung).
Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei
eine Menge und
eine Metrik ist.
Es sei ein
metrischer Raum,
und
eine positive reelle Zahl. Es ist
die offene und
die
abgeschlossene
-Kugel um
.
Es sei ein
metrischer Raum. Eine Teilmenge
heißt offen
(in
),
wenn für jedes
ein
mit
existiert.
Es sei ein
metrischer Raum. Eine Teilmenge
heißt abgeschlossen, wenn das
Komplement
offen
ist.
Es sei ein
metrischer Raum und sei
eine
Folge
in
. Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge. Ein Punkt
heißt Berührpunkt von
, wenn zu jedem
der Durchschnitt
Es seien
und
metrische Räume,
eine
Abbildung
und
.
Die Abbildung
heißt stetig in
, wenn für jedes
ein
derart existiert, dass
gilt. Die Abbildung heißt stetig, wenn sie stetig in
für jedes
ist.
Eine Funktion
die man als eine Summe der Form
mit
schreiben kann, wobei nur endlich viele
sind, heißt polynomiale Funktion.
Es sei ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von
. Es sei
eine
Abbildung
in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt
der
Grenzwert
(oder
Limes)
von
in
, wenn es für jedes
ein
gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
ist
.
In diesem Fall schreibt man
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung. Dann heißt in
differenzierbar, wenn der
Limes
existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in
und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn
in jedem Punkt
differenzierbar
ist. Die Abbildung
heißt dann die Ableitung von .
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine Abbildung. Zu einer Unterteilung
nennt man
den zugehörigen Streckenzug.
Zu einer Punktfolge
nennt man
die Gesamtlänge des Streckenzugs .
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine Abbildung. Dann nennt man
die Kurvenlänge von . Wenn
endlich ist, so heißt die Kurve
rektifizierbar.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles
Intervall
und
eine
offene Menge.
Dann nennt man eine
Abbildung
ein Vektorfeld
(auf ).
Es sei
eine
offene Teilmenge,
ein stetiges Vektorfeld und
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das
Wegintegral
zum Vektorfeld längs des Weges
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Dann nennt man
die gewöhnliche Differentialgleichung
(oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem)
zum
Vektorfeld
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Abbildung
auf einem
offenen (Teil)Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Die Abbildung
ist differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Es sei
gegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Es sei
vorgegeben. Dann nennt man eine
Abbildung
auf einem
Intervall
mit
eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine
Lösung der Differentialgleichung
ist und wenn zusätzlich
gilt.
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
,
ein
Intervall
und es sei
eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
ein Zentralfeld.
Es sei
ein
offenes Intervall,
offen
und
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
eine Differentialgleichung der Ordnung .
Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind und wobei
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.
Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine
Matrix
mit Einträgen
ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei
ein
offenes Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
wobei
eine
Matrix
mit Einträgen
ist und
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine
Basis
des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
Es sei
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das
charakteristische Polynom
auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Eine Abbildung
heißt Bilinearform, wenn für alle
die induzierten Abbildungen
und für alle
die induzierten Abbildungen
-
linear
sind.
Es sei ein
Körper,
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Es sei
eine
Basis
von
. Dann heißt die
-
Matrix
die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
für alle
gilt.
Es sei ein
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
. Diese Bilinearform heißt
- positiv definit, wenn
für alle
,
ist.
- negativ definit, wenn
für alle
,
ist.
- positiv semidefinit, wenn
für alle
ist.
- negativ semidefinit, wenn
für alle
ist.
- indefinit, wenn
weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
Ein
reeller Vektorraum
der
Dimension
mit einer
Bilinearform
vom
Typ
heißt
Minkowski-Raum.
Es sei ein
Minkowski-Raum
mit der
Minkowski-Form
. Ein Vektor
mit
heißt lichtartig.
Es sei ein
Minkowski-Raum
mit der
Minkowski-Form
. Ein Vektor
mit
heißt raumartig.
Es sei ein
Minkowski-Raum
mit der
Minkowski-Form
. Ein Vektor
mit
heißt zeitartig.
Es sei ein
Minkowski-Raum
mit einer
Minkowski-Form
. Die Vektoren
mit
heißen Beobachtervektoren oder Vierergeschwindigkeit eines Beobachters.
Es sei ein
Minkowski-Raum
und seien
und
Beobachter mit den
Vierergeschwindigkeiten
und
.
Dann nennt man den Vektor
den
Geschwindigkeitsvektor
von relativ zu
. Man nennt
die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.
Es seien
und
endlichdimensionale normierte Vektorräume,
eine offene Teilmenge, und
eine Abbildung. Weiter sei
ein Punkt und
ein fixierter Vektor. Dann heißt
differenzierbar in
in Richtung
, falls der
Grenzwert
existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in
in Richtung
. Er wird mit
bezeichnet.
Seien
und
euklidische Vektorräume,
sei
eine
offene Teilmenge,
sei
eine Abbildung und
ein fixierter Vektor. Dann heißt
differenzierbar in Richtung
, falls
in jedem Punkt
in Richtung
differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die Richtungsableitung von in Richtung
.
Es sei
offen und sei eine Abbildung
durch
gegeben. Es sei
ein Punkt. Für fixierte Indizes
und
betrachten wir die Abbildung
derart sei, dass
gilt)
als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen
,
,
fixiert seien. Ist diese Funktion in
differenzierbar,
so heißt
partiell differenzierbar in
bezüglich der Koordinate
. Man bezeichnet diese Ableitung
(welche ein Element in
ist)
mit
und nennt sie die -te partielle Ableitung von
in
.
Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt
, falls für alle
und
die partiellen Ableitungen in
existieren. Die
-te partielle Ableitung von
in
wird mit
bezeichnet.
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn
in jedem Punkt
partiell differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die -te partielle Ableitung von
.
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
gegeben, die in
partiell differenzierbar
sei. Dann heißt die Matrix
die Jacobi-Matrix zu im Punkt
.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
Abbildung
auf einer offenen Menge
und
Vektoren in
. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von
in Richtung
existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung
existiert und davon die
Richtungsableitung
in Richtung
existiert. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
eine
Abbildung
auf einer
offenen Menge
.
Man sagt, dass
-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl
von
Vektoren aus
die
höhere Richtungsableitung
in Richtung existiert und
stetig
ist.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Menge
und
eine Abbildung. Dann heißt
differenzierbar
(oder total differenzierbar)
im Punkt
,
wenn es eine
-
lineare Abbildung
mit der Eigenschaft
gibt, wobei
eine in
stetige Abbildung
mit
ist und die Gleichung für alle
mit
gilt.
Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von
an der Stelle
und wird mit
bezeichnet.
Es sei
eine
offene
Teilmenge,
eine -mal
stetig-differenzierbare Funktion
und
.
Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad
zu
in
.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in
ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
und
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in
ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
und
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen
und
eine in
differenzierbare Funktion.
Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor
mit
für alle
den Gradienten von
in
. Er wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
offen
und
eine
differenzierbare Funktion.
Dann heißt
ein kritischer Punkt von
(oder ein stationärer Punkt),
wenn
ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene Menge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion. Zu
heißt die
Abbildung
die Hesse-Form im Punkt
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene Menge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine
Basis
,
,
von
gegeben mit den zugehörigen
Richtungsableitungen
,
.
Zu
heißt dann die
Matrix
die Hesse-Matrix zu im Punkt
bezüglich der gegebenen Basis.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen,
sei
und sei
eine in
differenzierbare Abbildung.
Dann heißt
ein regulärer Punkt von
, wenn
ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume
und
und
offene
Teilmengen. Eine
Abbildung
heißt
-Diffeomorphismus,
wenn
bijektiv
und
-mal
stetig differenzierbar
ist, und wenn die
Umkehrabbildung
ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.
Zu einer Abbildung
zwischen zwei Mengen
und
heißt zu
die Menge
die Faser von über
.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
ein Punkt, in dem das
totale Differential
surjektiv
sei, und sei
die
Faser
von
durch
. Dann nennt man
den Tangentialraum an die Faser in
.