Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Definitionsliste

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Dann nennt man

${}y'=f(t,y)\,$

die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu ${}f$ (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ${}f$).

Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem (mehrpunktigen) Intervall  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist  ${}(t,y(t))\in U$  für alle  ${}t\in I$. 
2. Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
3. Es ist  ${}y'(t)=f(t,y(t))$  für alle  ${}t\in I$. 

Definition:Anfangswertproblem

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei  ${}(t_{0},y_{0})\in U$  vorgegeben. Dann nennt man

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung  ${}y'=f(t,y)$  mit der Anfangsbedingung  ${}y(t_{0})=y_{0}$. 

Definition:Lösung des Anfangswertproblems

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  eine Teilmenge und es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion. Es sei  ${}(t_{0},y_{0})\in U$  vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

auf einem Intervall  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},$

wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

${}y(t_{0})=y_{0}\,$

gilt.

Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt, wenn also  ${}f(t,y)=g(t)$  mit einer Funktion ${}g$ in der einen Variablen ${}t$ gilt.

Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}t$ abhängt, wenn also  ${}f(t,y)=h(y)$  mit einer Funktion ${}h$ in der einen Variablen ${}y$ gilt.

Definition:Homogene lineare gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)y\,$

mit einer Funktion (${}I$ reelles Intervall)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.

Definition:Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

mit zwei auf einem Intervall  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  definierten Funktionen ${}t\mapsto g(t)$ und ${}t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

mit zwei Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Definition:Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle  ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$,   ${}x_{1},x_{2}\in V$  und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle  ${}v,w\in V$. 

3. Es ist  ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$  für alle  ${}v\in V$  und  ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$  genau dann, wenn  ${}v=0$  ist.

Definition:Euklidischer Vektorraum

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor  ${}v\in V$  die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Definition:Abstand (euklidischer Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zu zwei Vektoren  ${}v,w\in V$  nennt man

${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

Definition:Orthogonale Vektoren

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren  ${}v,w\in V$  orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition:Orthogonales Komplement

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Definition:Orthonormalbasis

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Definition:Linearform

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow K$

heißt eine Linearform auf ${}V$.

Definition:Metrischer Raum

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle  ${}x,y,z\in M$  die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}d{\left(x,y\right)}=0$  genau dann, wenn  ${}x=y$  ist (Definitheit),
2.  ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$  (Symmetrie), und
3.  ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$  (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Definition:Offene Kugel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum,  ${}x\in M$  und  ${}\epsilon >0$  eine positive reelle Zahl. Man nennt

${}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$

die offene Kugel um ${}x$ mit Radius ${}\epsilon$.

Definition:Abgeschlossene Kugel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum,  ${}x\in M$  und  ${}\epsilon \geq 0$  eine nichtnegative reelle Zahl. Man nennt

${}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$

die abgeschlossene Kugel um ${}x$ mit Radius ${}\epsilon$.

Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq M$  heißt offen (in $(M,d)$), wenn für jedes  ${}x\in U$  ein  ${}\epsilon >0$  mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge  ${}A\subseteq M$  heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist.

Definition:Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Man sagt, dass die Folge gegen  ${}x\in M$  konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  derart, dass für alle  ${}n\geq n_{0}$  die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Berührpunkt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Ein Punkt  ${}a\in M$  heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn zu jedem  ${}\epsilon >0$  der Durchschnitt

${}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$

Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Es seien ${}(L,d_{1})$ und ${}(M,d_{2})$ metrische Räume,

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung und  ${}x\in L$.  Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  derart existiert, dass

${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes  ${}x\in L$  ist.

Definition:Polynomiale Funktion

Eine Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

die man als eine Summe der Form

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$

mit  ${}a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$  schreiben kann, wobei nur endlich viele  ${}a_{\nu }\neq 0$  sind, heißt polynomiale Funktion.

Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in M$  ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$. Dann heißt  ${}b\in L$  der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes  ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$  ist  ${}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$.  In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Definition:Differenzierbare Kurve in einem Punkt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ in  ${}t\in I$  differenzierbar, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von ${}f$ in ${}t$ und wird mit

$f'(t)$

bezeichnet.

Definition:Differenzierbare Kurve

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt  ${}t\in I$  differenzierbar ist. Die Abbildung

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),$

heißt dann die Ableitung von ${}f$.

Definition:Streckenzug zu einer Unterteilung

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Zu einer Unterteilung

${}a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\,$

nennt man

${}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]=[f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{k})]\,$

den zugehörigen Streckenzug.

Definition:Länge eines Streckenzugs

Zu einer Punktfolge

${}P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\,$

nennt man

${}L(P_{0},\ldots ,P_{k})=\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}\,$

die Gesamtlänge des Streckenzugs ${}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$.

Definition:Rektifizierbare Kurve

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}L(f)={\operatorname {sup} \,{\left(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} \right)}}\,$

die Kurvenlänge von ${}f$. Wenn ${}L(f)$ endlich ist, so heißt die Kurve ${}f$ rektifizierbar.

Definition:Vektorfeld

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall und  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

ein Vektorfeld (auf ${}U$).

Definition:Wegintegral (Vektorfeld)

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine offene Teilmenge,

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,$

das Wegintegral zum Vektorfeld ${}F$ längs des Weges ${}\gamma$.

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Dann nennt man

${}v'=f(t,v)\,$

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld ${}f$.

Definition:Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}v'=f(t,v)\,$

heißt eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem offenen (Teil)Intervall  ${}J\subseteq I$  eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist  ${}v(t)\in U$  für alle  ${}t\in J$. 
2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
3. Es ist  ${}v'(t)=f(t,v(t))$  für alle  ${}t\in J$. 

Definition:Anfangswertproblem (Differentialgleichungssystem)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  gegeben. Dann nennt man

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung  ${}v'=f(t,v)$  mit der Anfangsbedingung  ${}v(t_{0})=w$. 

Definition:Lösung des Anfangswertproblems (Differentialgleichungssystems)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall  ${}J\subseteq I$  mit  ${}t_{0}\in J$  eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ eine Lösung der Differentialgleichung  ${}v'=f(t,v)$  ist und wenn zusätzlich

${}v(t_{0})=w\,$

gilt.

Definition:Zentralfeld

Es sei  ${}U\subseteq V$  eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein Intervall und es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein Zentralfeld.

Definition:Differentialgleichung der Ordnung n

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein offenes Intervall,  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${}n$.

Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),$

sind und wobei

$z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},$

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${}z$ heißt dabei Störabbildung.

Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv\,,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix mit Einträgen  ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$  ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${}v'=Mv+z\,,$

wobei  ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$  eine Matrix mit Einträgen  ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$  ist und

$z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition:Fundamentalsystem

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit  ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$  ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

Definition:Charakteristisches Polynom (Differentialgleichung)

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit  ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

${}\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Definition:Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Bilinearform, wenn für alle  ${}v\in V$  die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle  ${}w\in V$  die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}K$- linear sind.

Definition:Gramsche Matrix (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$- Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Definition:Symmetrische Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle  ${}v,w\in V$  gilt.

Definition:Definitheit einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt

1. positiv definit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$  für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$  für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$  für alle  ${}v\in V$  ist.
4. negativ semidefinit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$  für alle  ${}v\in V$  ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Definition:Minkowski-Raum

Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.

Definition:Lichtartiger Vektor

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor  ${}v\in V$  mit

${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

heißt lichtartig.

Definition:Raumartiger Vektor

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor  ${}v\in V$  mit

${}\left\langle v,v\right\rangle >0\,$

heißt raumartig.

Definition:Zeitartiger Vektor

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor  ${}v\in V$  mit

${}\left\langle v,v\right\rangle <0\,$

heißt zeitartig.

Definition:Beobachtervektor

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit einer Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Die Vektoren  ${}v\in V$  mit

${}\left\langle v,v\right\rangle =-1\,$

heißen Beobachtervektoren oder Vierergeschwindigkeit eines Beobachters.

Definition:Relativgeschwindigkeit

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum und seien ${}B$ und ${}C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten ${}v$ und ${}w$. Dann nennt man den Vektor

${}v_{BC}=-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\,$

den Geschwindigkeitsvektor von ${}C$ relativ zu ${}B$. Man nennt

${}\rho _{BC}={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,$

die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.

Definition:Richtungsableitung in einem Punkt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte Vektorräume,  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Weiter sei  ${}P\in G$  ein Punkt und  ${}v\in V$  ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in ${}P$ in Richtung ${}v$, falls der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}$

existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ . Er wird mit

${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}$

bezeichnet.

Definition:Richtungsableitung

Seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, sei  ${}G\subseteq V$  eine offene Teilmenge, sei ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und  ${}v\in V$  ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in Richtung ${}v$, falls ${}f$ in jedem Punkt  ${}P\in G$  in Richtung ${}v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

$D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},$

die Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v$.

Definition:Partiell differenzierbar

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$  offen und sei eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

gegeben. Es sei  ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$  ein Punkt. Für fixierte Indizes ${}i$ und ${}j$ betrachten wir die Abbildung

$I\longrightarrow {\mathbb {R} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

(wobei ${}I$ ein reelles Intervall mit

${}a_{i}\in I$ derart sei, dass ${}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${}a_{k}$, ${}k\neq i$, fixiert seien. Ist diese Funktion in ${}a_{i}$ differenzierbar, so heißt ${}f_{j}$ partiell differenzierbar in ${}P$ bezüglich der Koordinate ${}x_{i}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${}{\mathbb {R} }$ ist) mit

${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$

und nennt sie die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f_{j}$ in ${}P$.

Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${}P$, falls für alle ${}i$ und ${}j$ die partiellen Ableitungen in ${}P$ existieren. Die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$ in ${}P$ wird mit

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,$

bezeichnet.

Definition:Partielle Ableitung

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$  offen und sei eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

gegeben. Dann heißt ${}f$ partiell differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt  ${}P\in G$  partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,P\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)},$

die ${}i$-te partielle Ableitung von ${}f$.

Definition:Jacobi-Matrix

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$  offen und sei eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {R} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

gegeben, die in  ${}P\in G$  partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

${}\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$.

Definition:Höhere Richtungsableitung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume,

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge  ${}G\subseteq V$  und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in ${}V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert. Sie wird mit

$D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$

bezeichnet.

Definition:n-mal stetig differenzierbar

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge  ${}G\subseteq V$.  Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

$D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$

in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

Definition:Total differenzierbar

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume,  ${}G\subseteq V$  eine offene Menge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar (oder total differenzierbar ) im Punkt  ${}P\in G$,  wenn es eine ${}{\mathbb {R} }$- lineare Abbildung ${}L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit  ${}r(0)=0$  ist und die Gleichung für alle  ${}v\in V$  mit  ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$  gilt.

Diese lineare Abbildung ${}L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$ und wird mit

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bezeichnet.

Definition:Taylor-Polynom

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine offene Teilmenge,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal stetig-differenzierbare Funktion und  ${}P\in G$.  Dann heißt

$\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ zu ${}f$ in ${}P$.

Definition:Lokales Maximum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in M$  ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\geq f(x')\,$

gilt.

Definition:Lokales Minimum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in  ${}x\in M$  ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

${}f(x)\leq f(x')\,$

gilt.

Definition:Isoliertes lokales Maximum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in M$  ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')<\epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)>f(x')\,$

gilt.

Definition:Isoliertes lokales Minimum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in  ${}x\in M$  ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')<\epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)<f(x')\,$

gilt.

Definition:Gradient

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in  ${}P\in G$  differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor  ${}w\in V$  mit

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle  ${}v\in V$  den Gradienten von ${}f$ in ${}P$. Er wird mit

$\operatorname {Grad} \,f(P)$

bezeichnet.

Definition:Kritischer Punkt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann heißt  ${}P\in G$  ein kritischer Punkt von ${}f$ (oder ein stationärer Punkt), wenn

${}\left(Df\right)_{P}=0\,$

ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.

Definition:Hesse-Form

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu  ${}P\in G$  heißt die Abbildung

$\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$

die Hesse-Form im Punkt  ${}P\in G$. 

Definition:Hesse-Matrix

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Zu  ${}P\in G$  heißt dann die Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

die Hesse-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition:Regulärer Punkt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei  ${}G\subseteq V$  offen, sei  ${}P\in G$  und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}P$ ein regulärer Punkt von ${}\varphi$, wenn

${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,$

ist. Andernfalls heißt ${}P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Definition:Diffeomorphismus

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

heißt ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn ${}\varphi$ bijektiv und ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist.

Definition:Faser

Zu einer Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

zwischen zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt zu  ${}y\in M$  die Menge

${}F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,$

die Faser von ${}\varphi$ über ${}y$.

Definition:Tangentialraum an Faser

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei  ${}G\subseteq V$  offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}P\in G$  ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sei, und sei ${}Y$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$. Dann nennt man

${}T_{P}Y:=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$

den Tangentialraum an die Faser ${}Y$ in ${}P$.