Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 10/Rückmeldung

Rückmeldung zur Abgabe der Woche 10

In dieser Woche gab es nur wenige Abgaben. Zu den folgenden zwei Aufgaben haben sich aber ein paar Anmerkungen ergeben.

Zu Aufgabe 49.17 gab es Nachfragen bezüglich der Größe der Terme. Bei dieser Aufgabe soll auf verschiedene Weisen das totale Differential von ${}h\circ g\circ f$ berechnet werden, wobei ${}f,g,h$ selbst jeweils Abbildungen sind, die durch polynomiale Ausdrücke gegeben sind. Dabei soll das totale Differential in einem Punkt ${}P=(u,v)$ berechnet werden. Das bedeutet also, dass das Ergebnis von den Variablen ${}u,v$ abhängt.

Die Verkettung von Funktionen kann durch Einsetzen berechnet werden. Für ${}g\circ f$ ergibt sich zum Beispiel

$(g\circ f)(P)=g(f(u,v))=g(u^{2},uv,u-v^{2})=(u^{2}v^{2}+u^{2}+v^{2}-u,-u^{5}v^{3}+u^{6}v)$

Analog bestimmt man ${}(h\circ g\circ f)(P)$, wobei man zwei recht große Polynome erhält. Sie haben viele Terme und hohen Grad, sodass diese Aufgabe sehr rechenintensiv ist. Anschließend kann man die Jacobi-Matrix aufstellen, um eine Beschreibung des totalen Differentials zu erhalten.

Eine andere Variante zur Berechnung des totalen Differentials verwendet die Kettenregel. Dabei berechnet man

$\operatorname {Jak} (h)_{g(f(P))}\circ \operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P},$

also das Produkt von drei polynomialen Matrizen, sodass man wiederum ein sehr großes Ergebnis erhält.

Bei Aufgabe 50.17 sind die beiden verschiedenen Ansätze das Taylor-Polynom zu berechnen das Hauptaugenmerk. Bereits in nur einer Variablen lässt sich beobachten, dass das Taylor-Polynom zu einer Polynomfunktion sich im Nullpunkt besonders leicht berechnen lässt. Falls etwa ${}f(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$ ein Polynom ist, so ergibt sich das ${}k$-te Taylor-Polynom im Nullpunkt durch Abschneiden ${}a_{0}+\cdots +a_{k}X^{k}$ beim Grad ${}k$. Sind wir nicht am Taylor-Polynom im Nullpunkt, sondern etwa an der Stelle ${}1$ interessiert, so können wir zunächst eine Koordinatentransformation ${}Y=X-1$ durchführen. Bezüglich der neuen Koordinate ${}Y$ berechnen wir dann das Taylor-Polynom im Nullpunkt (dort besitzt ${}X$ den Wert ${}1$). Wir bestimmen also ${}f(X)=f(Y+1)=b_{0}+b_{1}Y+\cdots b_{n}Y^{n}$ mit geeigneten Koeffizienten ${}b_{i}$, die direkt ausgerechnet werden können. Das Taylor-Polynom zum Grad ${}\leq k$ im Punkt ${}1$ ist dann

$b_{0}+\cdots +b_{k}Y^{k}=b_{0}+b_{1}(X-1)+\cdots +b_{n}(X-1)^{k}.$

Dieser Ansatz ist rein algebraisch – an keiner Stelle berechnen wir Ableitungen. Der andere Ansatz hingegen verwendet direkt die Definition des Taylor-Polynoms, bei dem die Koeffizienten ${}b_{i}$ also explizit über Ableitungen der Funktion berechnet werden können.

In mehreren Variablen funktionieren die beiden Ansätze ganz analog und lassen sich auf die Aufgabe anwenden. Der algebraische Ansatz wird auch in Bemerkung 50.3 erklärt.