Polynom/Mehrere Variablen/Taylorpolynom/Bemerkung

Ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}d$ stimmt mit seinem Taylor-Polynom vom Grad ${}k\geq d$ im Nullpunkt ${}0=(0,\ldots ,0)$ überein. Wegen der Additivität der Richtungsableitungen muss man dies nur für ${}f=ax_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}$ überprüfen. Es ist aber

${}D^{r}f(0)=D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}f(0)={\left(r_{1}!\right)}\cdots {\left(r_{n}!\right)}a=r!a\,$

und

${}D^{s}f(0)=0\,$

für jedes ${}n$-Tupel ${}s=(s_{1},\ldots ,s_{n})\neq r$, siehe Aufgabe.

Wenn man zu einem Polynom ${}f$ die Taylor-Polynome in einem Punkt

${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\,$

berechnen möchte, so kann man (neben der Berechnung der Ableitungen) auch folgendermaßen vorgehen: Man schreibt das Polynom ${}f$ in den Variablen ${}y_{i}=x_{i}-a_{i}$. Dazu ersetzt man in ${}f$ die Variablen ${}x_{i}$ durch

${}x_{i}=x_{i}-a_{i}+a_{i}=y_{i}+a_{i}\,$

und rechnet dies aus, bis ein Polynom in ${}y_{i}$ dasteht. Aus diesem Polynom sind die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt ${}P$ direkt ablesbar.