Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie $30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch $30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen
\maabbdisp {g} {\R} {\R
} {}
und ein kompaktes Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subset }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
\zusatzklammer {es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die zweite
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sqrt{t^5-t^3+2t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Körper werde zum Zeitpunkt $0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit
\mathl{v(t)}{} und die zurückgelegte Strecke
\mathl{s(t)}{} in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Nach welcher Zeit hat der Körper $100$ Meter zurückgelegt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbele {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und $F(x)$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $f(x)$. Zeige, dass
\mathl{F(x-a)}{} eine Stammfunktion zu
\mathl{f(x-a)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbele {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und $F(x)$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $f(x)$. Zeige, dass
\mathl{- F(-x)}{} eine Stammfunktion zu
\mathl{f(-x)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbele {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und $F(x)$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $f(x)$. Zeige, dass
\mathl{F(x)+cx}{} eine Stammfunktion zu
\mathl{f(x) +c}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {4x^2-3x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die an der Stelle $3$ den Wert $5$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 4 } 3x^2-5x+6 \, d x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 2 }^{ 5 } \frac{x^2+3x-6}{x-1} \, d x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{ \sqrt{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $a$ die minimale positive Zahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin a
}
{ = }{ \cos a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von
\mathl{[0,a]}{} eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 2x^3 +3e^x - \sin x
} {,}
über
\mathl{[-1,0]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{x}}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [1,4]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von
\mathkor {} {1} {und} {4} {}
und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + { \frac{ 1 }{ n+2 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } }
}
{ \leq} { \ln 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Tipp: Betrachte die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem Intervall
\mathl{[1,2]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\mathdisp {a \longmapsto \int_{ -1 }^{ 2 } at^2-a^2t \, d t} { }
ein
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
oder ein
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{}
\zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion
\maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R
} {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t
} {,}
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch
\maabbeledisp {} {[8,18]} {\R
} {x} {f(x) = -x^2+25x-100
} {,}
beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {g} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Funktion
\mathdisp {h(x)= \int_{ 0 }^{ g(x) } f(t) \, d t} { }
differenzierbar ist und bestimme ihre
\definitionsverweis {Ableitung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {[0,1]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Betrachte die durch
\mathdisp {a_n := \int_{ \frac{1}{n+1} }^{ \frac{1}{n} } f(t) \, d t} { }
definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
Entscheide, ob diese Folge
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {f} {[0,1]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass dann die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{a_n} f(x) dx} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{}
auf $[a,b]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige: Ist $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)dx
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{0}^{x} e^{t^2} dt
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine einzige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x) dx
}
{ =} { \int_{a}^{b} g(x) dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Beweise, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede stetige Funktion
\maabb {g} {[a,b]} {\R
} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_{ 0 }^{ 8 } f ( t) \, d t}{,} wobei die Funktion $f$ durch
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} t+1 , \text{ falls } 0 \leq t \leq 2 \, , \\ t^2-6t+11 , \text{ falls } 2 < t \leq 5 \, , \\ 6 , \text{ falls } 5 < t \leq 6 \, , \\ -2t+18 \, , \text{ falls } 6 < t \leq 8 \, , \end{cases}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 7 } \frac{x^3-2x^2-x+5}{x+1} \, d x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Flächeninhalt unterhalb\zusatzfussnote {Gemeint ist hier der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $x$-Achse} {.} {} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
mit
\mathdisp {f(x)=x^2 \text{ und } g(x)=-2x^2+3x+4} { }
eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t)g(t) \, d t
}
{ =} { f(s) \int_{ a }^{ b } g(t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}