Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie ${}30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch ${}30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Aufgabe *

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion

${}F(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt {t^{5}-t^{3}+2t}}\,dt\,.$

Aufgabe

Ein Körper werde zum Zeitpunkt ${}0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit ${}v(t)$ und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$. Nach welcher Zeit hat der Körper ${}100$ Meter zurückgelegt?

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto f(x)$, eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$. Zeige, dass ${}F(x-a)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x-a)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto f(x)$, eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$. Zeige, dass ${}-F(-x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(-x)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto f(x)$, eine stetige Funktion und ${}F(x)$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)$. Zeige, dass ${}F(x)+cx$ eine Stammfunktion zu ${}f(x)+c$ ist.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zu

${}f(x)=4x^{2}-3x+2\,,$

die an der Stelle ${}3$ den Wert ${}5$ besitzt.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{-1}^{4}3x^{2}-5x+6\,dx.$

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x^{2}+3x-6}{x-1}}\,dx.$

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

Aufgabe

Es sei ${}a$ die minimale positive Zahl mit ${}\sin a=\cos a$. Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von ${}[0,a]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}+3e^{x}-\sin x,$

über ${}[-1,0]$.

Aufgabe *

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$. Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung

${}{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\leq \ln 2\,$

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ auf dem Intervall ${}[1,2]$.

Aufgabe *

Bestimme, für welche ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktion

$a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt$

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe *

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

$[8,18]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=-x^{2}+25x-100,$

beschrieben. Dabei ist ${}x$ die Zeit in Stunden und ${}y=f(x)$ ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

Aufgabe

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

$h(x)=\int _{0}^{g(x)}f(t)\,dt$

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch

$a_{n}:=\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}f(t)\,dt$

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe mit ${}a_{n}\in [0,1]$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{a_{n}}f(x)dx$

absolut konvergent ist.

Aufgabe

Es sei ${}f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf ${}[a,b]$ mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in [a,b]$. Man zeige: Ist ${}f$ stetig in einem Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)>0$, dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(x)dx>0\,.$

Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung

${}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}dt=1\,$

eine einzige Lösung ${}x\in [0,1]$ besitzt.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

${}\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}g(x)dx\,$

Beweise, dass es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral ${}\int _{0}^{8}f(t)\,dt$, wobei die Funktion ${}f$ durch

$f(t)={\begin{cases}t+1,{\text{ falls }}0\leq t\leq 2\,,\\t^{2}-6t+11,{\text{ falls }}2<t\leq 5\,,\\6,{\text{ falls }}5<t\leq 6\,,\\-2t+18\,,{\text{ falls }}6<t\leq 8\,,\end{cases}}$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{7}{\frac {x^{3}-2x^{2}-x+5}{x+1}}\,dx.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+1}}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen ${}f$ und ${}g$ mit

$f(x)=x^{2}{\text{ und }}g(x)=-2x^{2}+3x+4$

eingeschlossen wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetige Funktionen und es sei ${}g(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$. Zeige, dass es dann ein ${}s\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,dt=f(s)\int _{a}^{b}g(t)\,dt\,$

gibt.

Fußnoten