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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie \mathkor {} {S} {und} {T} {} zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.


a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.


b) Löse dieses Gleichungssystem.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} -4 x +6 y & = & 0 \\ 5 x +8 y & = & 0 \, \end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+y+z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {x=5,\, 2 y=3,\, 4z+w=3} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +4 w & = & 4 \\ 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 0 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 2 \\ x & +3 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & +2 y & +3 z & +4 w & = & 1 \\ 2 x & +3 y & +4 z & +5 w & = & 7 \\ x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x & +5 y & +5 z & + w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Gibt es eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c) }
{ \in }{ \Q^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 11\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2\\ 12\\3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 20\\7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 20\\5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 21.1?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{} über $\Q$ ein dazu \definitionsverweis {äquivalentes}{}{} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bringe das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-4+5y }
{ =} {8z+7x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2-4x+z }
{ =} { 2y+3x+6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z-3x +2x +3 }
{ =} { 5x-11y+2z-8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} in Standardgestalt und löse es.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante, der schon im Kontext der Differentialrechnung aufgetaucht ist.

Zu einer auf einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierten Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} und zwei verschiedenen Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die Gerade durch \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} die \definitionswort {Sekante}{} von $f$ an \mathkor {} {a} {und} {b} {.}





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {-x^3+x^2+2 } {,} zu den Stellen
\mathbed {3} {und}
{4} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde zu einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} {a+b { \mathrm i} }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} { \mathrm i} x &+y & +(2- { \mathrm i})z & = & 2 \\ & 7y& +2 { \mathrm i} z &=& -1+3 { \mathrm i} \\ & & (2-5 { \mathrm i}) z &=& 1 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ der in Beispiel 4.4 eingeführte \definitionsverweis {Körper}{}{} mit zwei Elementen. Löse in $K$ das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sein muss.

}
{} {}

In den folgenden vier Aufgaben geht es insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.


\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} & +7 y & +3 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 4 \\ x & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & +4 w & = & 9 \\ & -3 y & -5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ -2 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & +3 w & = & 3 \, \end{matrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7y }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z }
{ =} {8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2u-3v }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x-3y+2z-11u-v+5w }
{ =} {17 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4u-5v }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z }
{ =} {-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z }
{ =} {9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-67y+14z-123u-51w }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8x-11y+12z-27u-65w }
{ =} {51 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{66x-67y-77z-u+100w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8x-11y+12z-27u-65w }
{ =} {-15 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-301x+44y+33z-31u-18w }
{ =} {571 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3punktsmodell.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 3punktsmodell.svg } {} {Indolences} {Commons} {gemeinfrei} {.}

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x+b_1y }
{ \geq} {c_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_2x+b_2y }
{ \geq} {c_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_3x+b3y }
{ \geq} {c_3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & +2 y & +3 z & +4 w & = & 1 \\ 2 x & +3 y & +4 z & +5 w & = & 7 \\ x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x & +5 y & +5 z & + w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen
\mathl{x_1,x_2 , \ldots , x_{10}}{,} das durch die beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 +x_2+x_3 +x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9 +x_{10} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 -x_2+x_3 - x_4+x_5-x_6+x_7-x_8+x_9- x_{10} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x -a y \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\ a x \, \, \, \, \, \, \, \, +3 z & = & 3 \\ -{ \frac{ 1 }{ 3 } } x + y + z & = & 2 \, \end{matrix}} { }
über den \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für welche
\mathl{a}{} besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{cx+dy }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad-bc }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y }
{ \leq} {-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x }
{ \geq} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

}
{} {}