Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te
\definitionsverweis {Standardvektor}{}{}
\zusatzklammer {der Länge $n$} {} {}
als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor
\zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {}
als Spaltenvektor aufgefasst wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe
\mathkor {} {DM} {und} {MD} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ \begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n$-Tupel über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Dx
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und wie löst man es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 1- \frac{1}{2} { \mathrm i} & 4 { \mathrm i} \\ -5+7 { \mathrm i} & \sqrt{2} + { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5+4 { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} \\ \sqrt{2}- { \mathrm i} & e + \pi { \mathrm i} \\ 1 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\2-3 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gemäß den beiden möglichen Klammerungen.
}
{} {}
Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist. Genauer: Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
$B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (A B)C
}
{ = }{ A(BC)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.
}
{} {}
Zu einer Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung
\zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {}
mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Aus den Rohstoffen $R_1,R_2$ und $R_3$ werden verschiedene Produkte
\mathl{P_1,P_2,P_3,P_4}{} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
\zusatzklammer {jeweils in geeigneten Einheiten} {} {.}
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $R_1$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $R_2$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $R_3$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $P_1$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $P_2$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $P_3$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $P_4$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 6 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 2 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 3 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 4 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 2 }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 0 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 5 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 2 }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 2 }
\renewcommand{\avierxzwei}{ 1 }
\renewcommand{\avierxdrei}{ 5 }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxdrei
\aufzaehlungdreiabc{Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
}{Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
\wertetabellevierausteilzeilen { }
{\mazeileundvier { P_1 } { P_2 } { P_3 } { P_4 } }
{ }
{\mazeileundvier { 6 } { 4 } { 7 } {5} }
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
}{Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
\wertetabelledreiausteilzeilen { }
{\mazeileunddrei { R_1 } { R_2 } { R_3 } }
{ }
{\mazeileunddrei {12} { 9 } {13} }
Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
$\,$
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {2D Cartesian} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 2D Cartesian.svg } {} {Andeggs} {Commons} {gemeinfrei} {}
Bestimme die \zusatzklammer {ungefähren} {} {} Koordinaten des skizzierten Punktes \zusatzklammer {eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene $\R^2$.
\mathdisp {(3,-7),\, (-1,-2),\, (0,5),\, (4,4),\, (4,5),\, (-3,0),\, (0,0)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Ebene $\R^2$ gegeben. Skizziere die Punkte
\mathdisp {(-x,y),\, (x,-y),\, (-x,-y), \, (3x,3y), (-2x,-2y)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Ebene $\R^2$ gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte
\mathdisp {(cx,cy),\, c \in \R} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Markiere zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} in der kartesischen Ebene $\R^2$ und addiere sie.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Zahlenraum $K^n$ zu einem Körper $K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(su)
}
{ = }{ (rs) u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(u+v)
}
{ = }{ ru + rv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r+s)u
}
{ = }{ ru + su
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1u
}
{ =} { u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass auch das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {V\times W} { }
ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des $\R^2$
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
sind:
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x+2y = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_2
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x \geq y \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_3
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x+1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_4
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $D$ die Menge aller reellen $2 \times 2$-Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Zeige, dass $D$ kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller $2 \times 2$-Matrizen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,W
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn
\mathkor {} {U \subseteq W} {oder} {W \subseteq U} {}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I
}
{ \defeq} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{Cauchyfolge in } \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller
\definitionsverweis {reellen Cauchyfolgen}{}{.}
Zeige, dass $C$ ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des Folgenraums
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{Folge in } \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ monoton} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3-2 { \mathrm i} & 1+5 { \mathrm i} & 0 \\ 7 { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} & 4- { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-2 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 2+3 { \mathrm i} \\ 5-7 { \mathrm i} & 2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die vierte
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^4
}
{ =} { MMMM
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde und beweise eine Formel für die $n$-te
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde neben den beiden Matrizen
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} vier weitere Matrizen
\mathl{M}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^2
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten
\zusatzklammer {dabei sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1) v
}
{ = }{ -v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der \definitionsverweis {Untervektorraumaxiome}{}{} erfüllen, aber nicht das dritte.
}
{} {}