Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_{i}\circ e_{j},$

wobei links der ${}i$-te Standardvektor (der Länge ${}n$) als Zeilenvektor und rechts der ${}j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge ${}n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt ${}Me_{j}$ mit dem ${}j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ergibt. Was ist ${}e_{i}M$, wobei ${}e_{i}$ der ${}i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix. Beschreibe ${}DM$ und ${}MD$.

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}c={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein ${}n$-Tupel über einem Körper ${}K$, und es sei ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

${}Dx=c\,,$

und wie löst man es?

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }&4{\mathrm {i} }\\-5+7{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}+{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5+4{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }\\{\sqrt {2}}-{\mathrm {i} }&e+\pi {\mathrm {i} }\\1&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix, ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix und ${}C$ eine ${}p\times r$-Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}(AB)C=A(BC)$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Zu einer Matrix ${}M$ bezeichnet man mit ${}M^{n}$ die ${}n$-fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ${}n$-ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\,$

die Potenzen

$M^{i},\,i=1,\ldots ,4.$

Aufgabe *

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	${}6$	${}2$	${}3$
${}P_{2}$	${}4$	${}1$	${}2$
${}P_{3}$	${}0$	${}5$	${}2$
${}P_{4}$	${}2$	${}1$	${}5$

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}6$	${}4$	${}7$	${}5$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}12$	${}9$	${}13$

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Aufgabe

Bestimme die (ungefähren) Koordinaten des skizzierten Punktes (eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit).

Aufgabe

Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$.

$(3,-7),\,(-1,-2),\,(0,5),\,(4,4),\,(4,5),\,(-3,0),\,(0,0).$

Aufgabe

Es sei ein Punkt ${}P=(x,y)$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Punkte

$(-x,y),\,(x,-y),\,(-x,-y),\,(3x,3y),(-2x,-2y).$

Aufgabe

Es sei ein Punkt ${}P=(x,y)$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte

$(cx,cy),\,c\in \mathbb {R} .$

Aufgabe

Markiere zwei Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der kartesischen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ und addiere sie.

Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum ${}K^{n}$ zu einem Körper ${}K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=ru+rv$,
3. ${}(r+s)u=ru+su$,

4. ${}1u=u\,,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass auch das Produkt

$V\times W$

ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in K$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von ${}V$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{2}$ Untervektorräume sind:

1. ${}V_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+2y=0\right\}}$,
2. ${}V_{2}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq y\right\}}$,
3. ${}V_{3}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+1\right\}}$,
4. ${}V_{4}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\right\}}$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe *

Es sei ${}D$ die Menge aller reellen ${}2\times 2$-Matrizen

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$

die die Bedingung

${}a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,$

erfüllen. Zeige, dass ${}D$ kein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$-Matrizen ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}U,W\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung ${}U\cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn ${}U\subseteq W$ oder ${}W\subseteq U$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

${}K^{I}:=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\,$

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei

${}C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchyfolge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$

die Menge aller reellen Cauchyfolgen. Zeige, dass ${}C$ ein Untervektorraum des Folgenraums

${}F={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Folge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

${}S={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,$

ein Untervektorraum ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

${}T={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,$

ein Untervektorraum ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

${}M={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ monoton}}\right\}}\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}\,$

kein Untervektorraum ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}3-2{\mathrm {i} }&1+5{\mathrm {i} }&0\\7{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }&4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1-2{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\5-7{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$

über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die vierte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

${}M^{4}=MMMM=0\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Finde und beweise eine Formel für die ${}n$-te Potenz der Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Finde neben den beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ vier weitere Matrizen ${}M$ mit der Eigenschaft ${}M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei ${}s\in K$ und ${}v\in V$).

1. Es ist ${}0v=0$.
2. Es ist ${}s0=0$.
3. Es ist ${}(-1)v=-v$.
4. Aus ${}s\neq 0$ und ${}v\neq 0$ folgt ${}sv\neq 0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum ${}V$ und von drei Teilmengen in ${}V$ an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.