Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Die Telefonanbieter $A,B$ und $C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr $j$ durch das Kundentupel
\mathl{K_j=(a_j,b_j,c_j)}{} ausgedrückt wird (dabei steht $a_j$ für die Anzahl der Kunden von $A$ im Jahr $j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.
\aufzaehlungdrei{Die Kunden von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$ und wechseln zu je $10\%$ zu $B$ bzw. zu $C$.
}{Die Kunden von $B$ bleiben zu $70\%$ bei $B$ und wechseln zu $10\%$ zu $A$ und zu $20\%$ zu $C$.
}{Die Kunden von $C$ bleiben zu $50\%$ bei $C$ und wechseln zu $20\%$ zu $A$ und zu $30\%$ zu $B$.
}
a) Bestimme die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} (bzw. die Matrix), die das Kundentupel
\mathl{K_{j+1}}{} aus $K_j$ berechnet.
b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel
\mathl{(12000,10000,8000)}{} innerhalb eines Jahres?
c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel
\mathl{(10000,0,0)}{} in vier Jahren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn die Spalten der Matrix ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $K^m$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn es eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ = }{E_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.
c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 9 }{ 4 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 50 }{ 3 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 2 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & -2 \\0 & 3 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zur komplexen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2+3{ \mathrm i} & 1-{ \mathrm i} \\ 5-4{ \mathrm i} & 6-2{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme, ob die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
b) Finde eine Lösung für das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & 1 & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & k+2 & k+1 \\ 0 & 0 & k+1 & k \\ -k & k +1 & 0 & 0 \\ k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
für jedes $k \in K$ zu sich selbst invers ist.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Mit
\mathl{B_{ij}}{} bezeichnen wir diejenige
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
die an der Stelle
\mathl{(i,j)}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen \definitionswort {Elementarmatrizen}{.}
\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \defeq E_{ n } - B_{ii} -B_{jj} + B_{ij} +B_{ji}$.
}{$S_k (s) \defeq E_{ n } + (s-1) B_{kk} \text{ für } s \neq 0$.
}{$A_{ij}(a) \defeq E_{ n } + a B_{ij} \text{ für } i \neq j \text{ und } a \in K$.
}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung haben. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit einer \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} von rechts \definitionsverweis {multipliziert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sind. Wie sehen die \definitionsverweis {inversen Matrizen}{}{} zu den Elementarmatrizen aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man eine Scherungsmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{ij}(a)
}
{ =} {E_{ n } + a B_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathl{M\circ N \circ L}{} schreiben kann, wobei $M$ und $L$
\definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{}
sind und $N$ eine Scherungsmatrix der Form
$A_{ij}(1)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{
Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr $j$ wird daher durch ein $5$-Tupel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_j
}
{ =} { \left( b_{1,j} , \, b_{2,j} , \, b_{3,j} , \, b_{4,j} , \, b_{5,j} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angegeben.
Von den Traglingen erreichen
\mathl{7/8}{-}tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen
\mathl{9/10}{-}tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen
\mathl{5/6}{-}tel das reife Alter und von den Reifen erreichen
\mathl{2/3}{-}tel das fünfte Jahr.
Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und $10$ Halbstarke zeugen $5$ Nachkommen und $10$ Reife zeugen $8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.
a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand
\mathl{B_{j+1}}{} aus dem Bestand
\mathl{B_j}{} berechnet.
b) Was wird aus dem Bestand
\mathl{\left( 200 , \, 150 , \, 100 , \, 100 , \, 50 \right)}{} im Folgejahr?
c) Was wird aus dem Bestand
\mathl{\left( 0 , \, 0 , \, 100 , \, 0 , \, 0 \right)}{} in fünf Jahren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $z \in {\mathbb C}$ eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} und es sei \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {w} {zw } {,} die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist. Wie sieht die \definitionsverweis {Matrix}{}{} zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen \mathkor {} {z_1} {und} {z_2} {} mit den beiden reellen Matrizen \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} die \definitionsverweis {Produktmatrix}{}{} $M_2 \circ M_1$ die beschreibende Matrix zu $z_1z_2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 \\1 & -2 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe das
Invertierungsverfahren
für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
unter der Voraussetzung $ad-bc \neq 0$ durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}