Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren

Es sei $M$ eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix $M^{- 1}$ finden?

Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix $M$ steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix $M^{- 1}$ als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip . Jede elementare Zeilenumformung kann nach Fakt als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix $E$ von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle

(M_{1}, M_{2})

steht, so steht im nächsten Schritt

(E M_{1}, E M_{2}) .

Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist, gibt.) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich

(E M_{1})^{- 1} E M_{2} = M_{1}^{- 1} E^{- 1} E M_{2} = M_{1}^{- 1} M_{2} .

D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich $M^{- 1} E_{n}$ , daher muss zum Schluss für $(E_{n}, N)$ gelten

N = E_{n}^{- 1} N = M^{- 1} E_{n} = M^{- 1} .