Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme explizit den
\definitionsverweis {Spaltenrang}{}{}
und den Zeilenrang der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\6 & -1 & 3 \end{pmatrix}} { . }
Beschreibe
\definitionsverweis {lineare Abhängigkeiten}{}{}
\zusatzklammer {falls solche existieren} {} {}
zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich bei \definitionsverweis {elementaren Zeilenumformungen}{}{} der \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} nicht ändert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von \definitionsverweis {ebenen Drehungen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1+3 { \mathrm i} & 5-{ \mathrm i} \\ 3-2{ \mathrm i} & 4+{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \\8 & 7 & 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 0 \\ -1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ -3 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch Induktion, dass bei einer \definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe die \definitionsverweis {Multilinearität}{}{} und die Eigenschaft, \definitionsverweis {alternierend}{}{} zu sein, direkt für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $3\times3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit quadratischen Matrizen
\mathkor {} {A} {und} {D} {}
schreiben kann. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det A \cdot \det D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} x^2+x & -x \\ -x^3+2x^2+5x-1 & x^2-x \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linalg_parallelogram_area.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linalg parallelogram area.png } {Nicholas Longo} {Thenub314} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren \mathkor {} {(x_1,y_1)} {und} {(x_2,y_2)} {} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der durch die Vektoren definierten $2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten \stichwort {Parallelogramms} {} \zusatzklammer {bis auf das Vorzeichen} {} {} übereinstimmt.
$\,$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n,p
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Transponieren von Matrizen}{}{}
folgende Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ A,B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times p } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { ({ A^{ \text{tr} } } )^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (A+B)^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ { A ^{ \text{tr} } } + { B^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (s A) ^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ s \cdot { A^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (A \circ C)^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ { C^{ \text{tr} } } \circ { A ^{ \text{tr} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { , }
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} aller $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal $1$ und zweimal $0$ steht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {w} {zw
} {,}
die zugehörige Multiplikation. Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung
\maabb {} {\R^2} {\R^2
} {}
auffasst.
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {v} {av
} {,}
die \definitionswort {Streckung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Homothetie}{}} {} {}
zum \stichwort {Streckungsfaktor} {} $a$.
\inputaufgabe
{}
{
Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {Streckung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei \definitionsverweis {Streckungen}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} & 5 \\ { \mathrm i} & 1 & 3- { \mathrm i} \\2 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die Determinante der Matrix
\mathdisp {A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\2 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}