Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\3 & 7 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt\zusatzfussnote {Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die reelle Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme
\mathdisp {M^{n} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { M^n \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen $x_n$ und $y_n$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
}{Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
}{Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+2X^2-2} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ (1+\lambda)^3 } } \\ { \frac{ 1 }{ (1+\lambda)^2 } }\\ { \frac{ 1 }{ (1+\lambda) } }\\1 \end{pmatrix}} { }
ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$ ist.
}
{} {}
Zur Lösung der folgenden Aufgabe ist neben den beiden vorstehenden Aufgaben auch
Aufgabe 24.31
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\R_{\geq 0}^4} { \R_{\geq 0}^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\-3 & 3 & 5 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne:
\aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$
}{die zugehörigen Eigenräume;
}{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
}{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
und die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
zu
\mathl{-2}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \\9 & 3 & 8 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ m
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man gebe Beispiele für
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
$M$ derart, dass $a$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ist mit der
\definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{}
$n$ und der
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{}
$m$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.
\aufzaehlungvier{Die Achsenspiegelung durch die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 4x-7y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Achse.
}{Die Verschiebung um den Vektor
\mathl{\left( 5 , \, -3 \right)}{.}
}{Die Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
}{Die Punktspiegelung mit dem Punkt
\mathl{(1,0)}{} als Zentrum.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\0 & 0 & -6 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
werde bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswortpraemath {\varphi}{ invariant }{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U)
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungfuenf{Der
\definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
}{
\mathl{V}{} ist
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
}{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
sind $\varphi$-invariant.
}{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der
\definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der
\definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der kleinste
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{}
von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Teilmenge von $V$ ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, bezüglich der die Matrix zur
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
sei. Zeige, dass die
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorräume}{}{}
\mathdisp {\langle v_1 , \ldots , v_i \rangle} { }
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
für jedes $i$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 & 3 \\ 6 & 7 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 5 \\ 4 & 7 & 1 \\2 & -4 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\-4 & 0 & 6 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne:
\aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$
}{die zugehörigen Eigenräume;
}{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
}{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {algebraischen}{}{}
und
\definitionsverweis {geometrischen}{}{}
Vielfachheiten für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 & 2 \\ 5 & 7 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}